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1、开平方的探究与原理,我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作九章算术里，就在世界数学史上第一次介绍了笔算开平方法据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的,后流传下来的笔算开平方是由三国时期刘徽作注的本子（公元263年），他在“注”里提到在平方数的情况下求近似值的两个算法： （1）“不加借算”：用现代符号表述就是 （2）“加借算”：用现代符号表述就是 并指出 在这两个近似值之间。,我们可以自己用这两个近似公式计算； 用电子计算器算得,求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extraction of squar
2、e root),其中a叫做被开方数。注：在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数,直接开平方:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法配方法 :利用完全平方式,通过移项、配方、变形、开方求一元二次方程的解的方法求根公式法:利用 求一元二次方程的解的方法,因式分解法： 十字相乘法：,还有提公因式法、待定系数法等求一元二次方程的解的方法,开平方原理讲解,我们知道任何一个个位数的平方不会超过两位如注：任何一个数如果要开平方，则必须对其位，以小树点为界，向左、向右两位两位的分。,开平方依据公式,我们知道完全平方公式：将其变形会有：任何完全平方数都可以用上述公式表示！,完全平方数演示,演示
3、数据一：演示数据二：,No.1,笔算开平方,1.将被开发数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用 分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，用“,”分开,分成几段，表示所求平方根是几位数.,以九章算术中求55225的开方为例，图解说明.,2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位的数。（在右边例题中，比5小得平方数是4，所以平方根的最高位为2）,3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数,4.把求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（例中的试商为,5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以
4、试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二位。（即3为平方根的第二位）,6.用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上一步中所求的积（即152-129=23）与第三段数组成新的余数（2325），这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数，所得的最大整数为新的试商（的整数部分为5）,7.对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根） 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在九章算术里就已经介绍
5、了上述笔算开平方法,上述平方根的求法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的平方根.,No.2,开平方公式,例 A=5；(5介于2的平方至3的平方之间，我们去初始值2.1，2.2，2.3,2.4,2.5, 2.6,2.7,2.8,2.9都可以，我们最好取中间值2.5)第一步:2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2 ;即5/2.5=2, 2-2.5=-0.5，-0.51/2=-0.25 ，2.5+（-0.25）=2.25，取2位数2.2,第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23 ；即5/2.2=2.272727 ，2.27272-2.2=-0.07272，-0.072
6、7271/2=-0.036363，2.2+0.03636=2.23.取3位数2.23第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236 ；即 5/2.23=2.242，2.242-2.23=0.012, 0.0121/2=0.006，2.23+0.006=2.236，取4位数每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。,开m次方公式：,6,7,6,整数开平方,例1：,解：,2,4,2,7,6,4,6,6,2,7,6,0,26,8,4,6,例2：,解：,2,4,4,4,6,4,9,9,4,4,1,5,291,8,1,8,
7、1,5,8,1,1,8,5,8,1,1,0,纯小数开平方,例3：,解：,0.68,0.46,0.,36,10,24,12,8,6,10 2,4,4,8,2,0,例4：,解：,0.027,0.00,0.,4,3,29,4,7,0,3 2,9,29,2,07,0,7,混小数开平方,例5：,解：,1.08,1.16,1.,1,16,64,2,0,16,4,8,6,0,8,64,例6：,解：,13.3,1 76.89,1,1,76,2,3,3,7,3,9,6,89,2,6,3,0,7 8,9,0,近似平方根,例7：,解：,1.414,2.00,1.,1,1,00,2,4,9,0,1,0,4,6,4,0
8、,0,0,0,4,1,2,8,1,2,8,1,1,1,9,00,2,8,2,4,4,1,2,1,9,6,6 04,例8：,解：,10.3,3.,9,1,30,6,2,2,0,0,0,2,4,6,00,0,0,0,6,4,0,5,7,6,23 19,9,3.21,（精确到0.001）,（精确到0.01）,1,9,00,8,1,00,2,8,2,8,2,2,5,6,38 36,4,5 6,把传统口诀稍加变化后，解决了上与下似相反而实同 上与去似相同而实相反、遇与还似相同而实异的矛盾 使口决的含义更加明确容易理解 容易接受，容易记忆，容易教学。,No.3 珠算式心算开平方方法,1.分节 开方先分节，
9、 二位为一节， 整数右向左， 小数左向右。,2.置数被开方数首节(满节：指首节有二位数字)的从算盘左边第三挡(空二档)起置数j首节不满节(不满节：指首节只有一位数字)的从算盘左边第四档(空三档)起置数。其要领简记为： 满节空二档； 不满空三档。,3.取根被开方数分为几个节，就有几位根 其要领简记为： 按节来取根，初根直接商； 试取次根时，初根扩2O倍， 加上试商数，得积乘试商， 试后来把次根定，初根扩2O乘次根， 加上次根自身录，一并来把积减去； 不够商1添个 “0” ，后节合并一起开； 一节一节移下来，前根视作韧根看； 若遇有余数，补 0”凑满节i 小数开方时，看作整数开。 少商补上1减去初根扩2O倍，再加新商和原商。 多商退还1，加上初根扩2O倍，再加新商和原商,Thank you!,
