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1、第七节 线性微分方程的解的结构,一、线性齐次微分方程的解的结构二、线性非齐次微分方程的解的结构三、降阶法和常数变易法三、小结,定理1,？,证,叠加原理,一定是通解,(1),解,一、 二阶线性齐次方程解的结构,线性无关,定义,线性相关.,否则称,线性无关.,如,线性相关,恒等式成立,如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内,那末称这n个函数在区间I内,为定义在区间I内的n个函数.,特别地,如,定理2,通解,求,只要求它的两个线性无关的特解.,线性无关,的特解,那末,就是(1)的,齐次,线性方程的通解,通解.,事实上，由一个非零特解可以构造出另一个与之线性无关的特解！,课本定理10.7.5,
2、推论,是n 阶齐次,线性方程,的n 个线性无关的解,那么, 此方程的通解为,其中,为任意常数.,定理2可推广到n 阶齐次线性方程，即,二、二阶线性非齐次方程的解的结构,定理3,的一个特解,为了求,非齐次线性方程的一个特解,和对应齐次线性方程,只要求得:,的通解.,(2),非齐次,线性方程的通解,Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的,通解.,是二阶非齐次线性微分方程,已知,的通解.,又容易验证,是所给方程的一个特解.,是非齐次方程的通解.,如,是二阶非齐次线性方程,是对应齐次方程,解的叠加原理,定理4,之和,的特解,那么,就是原方程的特解.,定理3和定理4也
3、可推广到n 阶非齐次线性方程.,求解,解,的通解是,再考虑两个方程,分别是原方程的特解.,所以原方程的通解为,例,思考题,都是微分方程:,求此方程的通解.,的解,证,齐次方程的特解.,非齐次线性方程的两个特解之差,是对应,结论,所以,非齐次线性方程,则,是齐次方程的解.,的解,原方程的通解为,或,或,因而,齐次线性方程的通解,解,都是微分方程:,求此方程的通解.,的解,线性无关.,所以,三、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,(1),解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,课本定理10.7.5,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易
4、法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,返回,线性相关与线性无关的概念,线性微分方程的概念,小结,线性微分方程解的结构,解的叠加原理,降阶法和常数变易法,求线性无关的特解和非齐次通解,第八节 常系数齐次线性微分方程的解法,一、二阶常系数线性齐次微分方程二、高阶常系数线性齐次微分方程三、小结四、作业,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,(characteristic equ
5、ation),(characteristic root),其中r为待定常数.,一、二阶常系数齐次线性方程解法,两个 特解,的通解的不同形式.,有两个不相等的实根,特征根r的不同情况决定了方程,特征方程,常数,线性无关的,得齐次方程的通解为,设解,其中r为待定常数.,有两个相等的实根,一特解为,化简得,设,取,则,知,得通解为,有一对共轭复根,为了得到实数形式的解,重新组合,的两个线性无关的解.,得齐次方程的通解为,称为,由常系数齐次线性方程的特征方程的根,确定其通解的方法,特征方程法.,例,解,特征方程,故所求通解为,特征根,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,例,解初值问题,解,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(二重根),特解,特征方程,特征方程的根,通解中的对应项,若是k重根r,若是k重共轭复根,二、高阶常系数齐次线性方程解法,例,解,特征方程,故所求通解为,特征根,即,特征根,故所求通解,解,特征方程,例,对应的特解,(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1) 写出相应的特征方程,(2) 求出特征根,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤:,小结,四、作业,
