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1、第三章 杆件的应力与强度计算（弯曲）,Mechanics of Materials,材料力学,3-1 引言3-2 拉（压）杆的应力与应变3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能3-4 失效、许用应力和强度条件3-6 薄壁圆筒的扭转3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件3-8 纯弯曲时梁的正应力3-9 横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件3-11 梁的合理设计3-12 剪切与挤压的实用计算3-13 应力集中,杆件的应力与强度计算,一、弯曲构件横截面上的应力,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有剪力FS，又有弯矩M.,3-8 纯弯曲时梁的正应力,
2、只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩。,只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力；,所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。,梁CD段内的任一横截面上,剪力等于零，而弯矩为常量，该段梁的弯曲就是纯弯曲。,二、纯弯曲（Pure bending),梁AC、CD段内的任一横截面上，剪力、弯矩均不为零，该段梁的弯曲就是横力弯曲。,三、分析方法,纯弯曲时梁的正应力,三方面法,一、实验（ Experiment）,1.变形现象,纵向线,相对转过了一个角度，,仍与变形后的纵向弧线垂直.,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线，且仍保持平行,横向线,2
3、.提出假设 ( Assumptions）,（a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面，它绕其上的 某一轴旋转了一个角度，且仍垂直 于梁弯曲变形后的轴线；,（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.,推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层,中性轴 横截面对称轴,中性层与横截面的交线称为中性轴 。,应变分布规律：,直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.,二、变形几何关系,三、物理关系,所以,Hookes Law,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.,应力分布规律：,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径,四、静力关系
4、,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.,内力与外力相平衡可得,（1）,（2）,（3）,将应力表达式代入（1）式，得,将应力表达式代入（2）式，得,将应力表达式代入(3)式，得,中性轴通过横截面形心,自然满足,将,代入,得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩；,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.,讨论,（1）应用公式时，一般将 M、y 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）；,（2）最大正应力发生
5、在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,则公式改写为,（3）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,（3）当中性轴为对称轴时,z,y,（4）对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受压和受拉部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式,当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。,一、横力弯曲,但由弹性力学精确分析表明，对于跨度l与横截面高度h之比l5h的细长梁。用纯弯曲正应
6、力公式计算横力弯曲时横截面上的正应力，误差2%，满足工程中所需要的精度。,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,3-9 横力弯曲时梁的正应力. 弯曲正应力强度条件,二、公式的应用范围,1.在线弹性范围内,3.平面弯曲,4.等直梁,2.具有切应力的梁（细长梁）,三、强度条件,1.数学表达式,梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.,2.强度条件的应用,（2）设计截面,（3）确定许可载荷,（1） 强度校核,对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的,且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力,例7 一铸铁梁的受力如图a
7、所示，其截面尺寸如右图所示。铸铁材料的拉、压许用应力分别为 , 。试校核此梁是否安全。,解：（1）绘梁的内力图,（2）计算截面的几何性质,a、确定中性轴位置,b、求Iz,（3）强度校核,由于梁的截面上、下不对称于中性轴，而材料的拉、压许用应力又不相等，所以最大正弯矩的作用截面C和最大负弯矩的作用截面B均可能是危险面。两个截面上的正应力分布如图d所示。最大压应力发生在B截面下边缘的各点处。,在C、B 截面上,所以最大拉应力发生在C截面下边缘的各点处，其值为,虽然大于 ，但没超过5%，故仍然认为是安全的。,例8 简支梁在跨中受集中载荷P=30kN，l=8m，120 MPa。试为梁选择工字钢型号。,
8、解：,由强度条件，得,选择工字钢28a,例9 梁AC的截面为10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的=160MPa，试求许用均布载荷q。,解：由平衡条件,一、梁横截面上的切应力,1.矩形截面梁,3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件,（1）两个假设,（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.,（2）公式推导,两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.,A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,式中：,为面积A1对中性轴的静矩.,化简后得,由平衡方程,b,矩型截面的宽度.,整个横截面对中性轴的惯性矩.,距中性轴
9、为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.,（4）切应力沿截面高度的变化规律, 沿截面高度的变化由静矩 与y之间的关系确定.,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）=0,y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,式中，A=bh为矩形截面的面积.,2.工字形截面梁,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为,b 腹板的厚度, 距中性轴为y的横线以外部分的横截 面面积A对中性轴的静矩.,（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,（c）腹
10、板部分的切应力合力占总剪力的9597。,假设：,（a）沿宽度kk上各点处的切应力 均汇交于o点；,（b）各点处切应力沿y方向的分量沿 宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,3.圆截面梁,最大切应力发生在中性轴上,4.薄壁圆环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ，环的平均半径为r0，由于 r0 故可假设,（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；,（b）切应力的方向与圆周相切.,式中 A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,max,二、强度条件,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力；
11、,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力., 例10 一简易起重设备如图所示。起重量（包含电葫芦自重）F=30kN。跨长l=5m。吊车大梁AB由20a号工字钢制成，其许用弯曲正应力170MPa，许用切应力=100MPa。试校核此梁的强度。,解：1、校核正应力强度,2、校核切应力强度,所以梁是安全的。,解：1.作FS图和M图,2.根据正应力强度条件,查型钢表，选32a工字钢，得,3-11 梁的合理设计,一、降低梁的最大弯矩值,1.合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强
12、度条件,3、集中力分散,2.合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.,二、增大Wz,1.合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似.,2.合理的放置,2.对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截 面且将翼缘置于受拉侧.,三、根据材料特性选择截面形状,1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面.,要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁.,例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴，摇臂钻床的摇臂等。,
