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1、一、典型数理方程,1、弦振动方程,2、热传方程,3、Laplace方程,许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。,怎么求解？,建立方程及相应的定解条件，利用几种基本的方法。,偏微分方程,常微分方程,第二章 分离变量法,边界条件：,初始条件：,2.1 有界弦的自由振动,定解问题的特点：,偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解此类问题可以采用叠加原理。,定解问题的方法：,找出偏微分方程满足边界条件的多个特解，再利用它们的线性组合，使满足初始条件。,固定,自由,自由,自由,自由,固定,固定,固定,对于确定的频率，振动过程中有不动的节点，这类振动波为驻波：,振动过程中不动的点称为节
2、点。,振动过程中驻波的振幅达到最大值，称为腹点。,为求定解问题，选择物理模型：乐器发出的声音可以分解为不同频率的单音，每种单音振动时为正弦曲线，其振幅不依赖时间,注：u(x,t)中含变量x的函数与含t的函数的乘积，有变量分离的形式,每一点绕平衡位置振动,振幅随位置变化,驻波解：,将U=X(x)T(t)代入波动方程：,这是解的分离变量,和,将U=X(x)T(t)代入边界条件：,和,T(t)为任意值，要使上式成立，则：,Clearly,x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比值只能为一常数！,由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：,(1),对于某些 值
3、，方程的解存在，则称 的值为固有值。相应的X(x)的解为固有函数。,对于 分三种情况加以讨论：,(2),(3),：固有值,：特征函数(固有函数),本征值方程,C2是积分常数,对于方程 ，因为X(x)不恒等于零。,只有,B.,A、B 是积分常数。,：固有值代入T的方程,An=A*C2是积分常数合并, 线性齐次，可采用叠加原理,C.,由初始条件：,Fourier展开式的系数：,Fourier展开式的系数：,小结,分离变量：,边值确定本征值函数：,初值确定叠加系数：,注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本征函数的根本。,（二）例,例1,磁致伸缩换能器两端自由的均匀细杆。,自由：振动传递给外界,A
4、.,分离变量：,和,B.,C.,D.,由初始条件：,例2:,单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。,求本征振动。,不需要初始条件。,A.,分离变量：,和,和,B.,和,和,C.,K=0：基频。,K0：谐频,2.2 有限杆的热传导,边界条件：,初始条件：,偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解此类问题可以采用叠加原理。,2.2.1 热传导问题的定解条件,和,将U=X(x)T(t)代入边界条件：,和,T(t)为任意值，要使上式成立，则：,将U=X(x)T(t)代入波动方程：,驻波解：,x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故
5、比值只能为一常数！,由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：,和,同弦振动问题只讨论 情问况：,C2是积分常数,对于方程 ，因为X(x)不恒等于零。,只有,B.,Cn 是积分常数。,：固有值代入T的方程,求解：,温度U,利用初始条件：,边界条件：,初始条件：,偏微分方程是线性齐次的，考虑第二类或第三类边界条件，求解此类问题可以采用叠加原理。,2.2.2 热传导问题的定解条件,和,将U=X(x)T(t)代入边界条件：,和,T(t)为任意值，要使上式成立，则：,将U=X(x)T(t)代入波动方程：,驻波解：,由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：,和,(1),对于 分三种
6、情况加以讨论：,(2),没用,将 代入,代入,(3),An是积分常数,Cn 是积分常数。,：固有值代入T的方程,求解：,温度U,偏微分方程是线性齐次的，考虑第二类或第三类边界条件也是齐次，求解此类问题可以采用叠加原理。,和 可线性叠加,由初始条件：,Fourier展开式的系数：,2.3 二维拉谱拉斯方程的定解,求电场强度,解：,建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。,导线,无限长导线的情况，可将电场看作沿z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态 平面问题。,2.3.1 矩形域内的二维拉谱拉斯方程的定解,真空静电势在矩形域内满足拉普拉斯方程：,边界条件,方程,将U=X(x)Y(y)代入波动方程：,求解含X的方程,再求解含Y的方程,上式满足边界条件,Fourier展开式的系数：,2.3.2 圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解,分离变量,考察一圆板内的温度分布，已知圆周边界上的温度为f，求温度分布。,化简引入常量,自然周期边界条件,或,温度有界条件,分解两方程,和,分析第一个方组，讨论 大于等于零两种情况,为2 的周期函数，所以,将 代入R的方程组，得到Euler方程，其解为,由于,对 和 的解叠加得到：,利用边界条件,Fourier展开式的系数：,
