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1、一 杜哈姆积分的数值计算方法,当作用于体系上的荷载函数是已知的而且便于积分时，则可由杜哈姆积分直接求出。然而，当荷载函数较复杂，不便于直接积分，就需要借助数值积分方法求解。下面以无阻尼情况为例来讨论，有阻尼情况可参考。,设初始条件为零，则引入符号：,（1）,则杜哈姆积分可简写为：,（2）,对（1）式可采用辛普生积分公式来计算。（参考数值计算方法）由此便可求得杜哈姆积分。,2.7 单自由度体系振动计算的数值法,二 加速度冲量外推法,有阻尼受迫振动的运动方程可写成：,（a）,采用递推公式来求解微分方程，步骤如下：,1、将时间t划分成等间距的等分点：,2、确定初始条件：,3、推导：,设在点 i-1，
2、i，i+1区间，位移用二次抛物线来代替真实的位移曲线，则在此区间内的位移方程y(t)可近似取为：,（b）,（c）,于是由（c）式可得：,（1）,将（1）式代人（b）式得：,（e）,i点的加速度可由（a）使求得：,（d）,将（e）式代人（d）式整理得：,（2）,由（1）、（2）便可求出各个分点上的位移。,4、注意，对于 由于 不存在，不能应用（1）式求得，对此可采用近似公式计算：,此式的物理意义是把第一区间的运动视为等加速度运动。如不考虑阻尼，则（2）式可简化为,三 线加速度法,1、增量型动平衡方程：,在任一瞬间，质量m上力的平衡方程：,经过Dt时间后，成为：,运动方程的增量形式：,运动增量平衡
3、方程的最终形式：,（1）,线性加速度法：假定在每个时间增量内加速度线性变化，而且体系的特性在这个间隔内保持为常量。,代入：,代入 得到：,（3）,（2）,得到：,（5）,（6）,（7）,（4）,为了避免累计误差，利用总的平衡条件：,逐步积分法的步骤（略）。,（8）,（9）,逐步积分法的步骤：,1）确定任一区间的初始速度和初始位移；2）根据（8）式求出区间的初始加速度；3）根据（5）（6）式计算等效刚度和等效增量荷载；4）根据（7）式计算位移增量；5）根据（3）式计算速度增量；6）由（9）式计算区间末端的位移和速度；7）重复2）-6）步骤，计算下一区间，直到体系的动力响应过程完全被确定。,Wil
4、son-q法,Wilson-q法：假定在每个时间段(t,t+qDt)内加速度线性变化，而且体系的特性在(t,t+Dt)内保持为常量。,Newmark-b法,无条件稳定要求：,无人工阻尼要求：,无条件稳定要求：,Newmark-b法（b=1/4）,Newmark-b法（b=1/4）,平衡方程：,2.8 用Rayleigh法进行振动分析,自由振动位移：,自由振动速度：,弹簧变形能：,质量块动能：,自振频率：,Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。最大动能等于最大位能：,这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形能应等
5、于最大动能的Rayleigh法概念而得。,例子：简支梁，认为是无限自由度,2.8.1一般体系的近似分析,体系变形能：,最大值：,体系动能：,由Rayleigh法：,最大值：, k*, m*,例子：简支梁，认为是无限自由度,2.8.2振动形状的选取,假定振型为抛物线：,能量守恒：,假定振型为正弦曲线：,能量守恒：,假定振型为抛物线：,假定振型为正弦曲线：,原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。Rayleigh法计算的
6、频率中，最低的一个，总是最好的近似值！,Question: 如何确定合理的挠曲形状？,Solution:,自由振动的位移是由惯性力作用引起的；惯性力正比于质量加速度（质量分布及位移幅值）因此：正确的振动形式yc(x)为正比于m(x)yc(x)的荷载所引起的挠曲线。,近似做法：采用荷载 作用时的挠曲线作为yc(x)具有很高的精度。,最大动能：,最大变形能：,能量守恒：,注意：,再近似： 假定惯性荷载为梁的重量，即,频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。,例E9-2,假定变形曲线,最大位能,最大动能,Finish?,计算频率:,R00法
7、,2.8.3改进的Rayleigh法,假设分布惯性力,荷载作用下挠度,R01法,优点?,考虑新的动能表达式，用v(1)代替v(0)：,R11法,由于,例E9-3,假定一个变形曲线,设:,计算动能和势能:,R00法,令Tmax=Vmax计算频率:,按照与初始挠度有关的惯性力做改进的计算.,R00法,计算最大位能.,R00法,按照改进的形状计算动能,比较精确解:w=14.5rad/s.如果给定更合理的初始形状,将得到好得多的结果.,2.9 几点结论与讨论,单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由实验测得，一般结构阻尼比为0.05。由于阻尼的存在，自由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将
8、从瞬态转为稳态。 使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）是减少振动的有效措施。 对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响。 不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。 动力系数取决于、频率比，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。,对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法称为时域分析法。 突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。 周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综合得到。 非线性问题叠加原理不适用，Duhamel积分不能用，要进行时程分析来求数值解。 利用三角函数和指数函数的关系，将荷载Fourier级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。,2.9 几点结论与讨论,
