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1、第五章 数值积分,区间a,b上的黎曼可积函数f(x)的积分：,有两种可能：（1）f(x)原函数无法用初等函数表示出来。 （2）f(x)用表格形式给出,考虑积分数学上描述：如图,5.1 求积公式,利用前面插值多项式P(x)逼近逼近被积函数f(x)，并对P(x)求积代替原积分,即：,1、过a,b两点，作直线得梯形公式：,用P1(x)代替f(x)，得：,如右图：,2、把a,b区间二等分，过a,b及等分点作抛物线得辛普森公式：,用P2(x)代替f(x)，得：,如右图：,3、把a,b区间n等分，分点为：,过这n+1个节点，构造一个n次多项式：,用Pn(x)代替f(x)，得：,其中：,该公式称为牛顿-科茨
2、公式，该公式的关键是计算系数Ai，变量替换,x=a+th,于是：,从而：,引进记号：,则：,可以看出Ci(n)不依赖f(x)和区间a,b，叫牛顿-科茨系数，可事先计算出：,例1：P101,（1）梯形求积公式：,（2）抛物线求积公式：,（3）牛顿-科茨求积公式：取n=4,积分准确值：,5.2 求积公式误差估计,1、定义：对一个一般的求积公式,该公式具有m次代数精确度，若对f(x)是不高于m次的代数多项式时，等号成立，而对f(x)是m+1次多项式时不能精确成立。,（1） 梯形公式具有一次精度,则：,但当f(x)=x2时,所以 梯形公式具有一次精度,（2） 牛顿-科茨公式：,若f(x)是n次多项式，
3、则f(n+1)(x)=0，因此f(x)=Pn(x)，牛顿科茨公式的代数精确度至少是n，当n是偶数时，精度可达到n+1，下面证明之：,记n+1次多项式为：,则其n+1次导数为：,则：,令：,则：,即h(u)是一个奇函数，故：,所以说n为偶数时，牛顿-科茨公式对n+1次多项式精确成立,抛物线求积公式是n=2时的牛顿-科茨公式，故其精确度为至少为3，可以证明它对四次多项式不能精确成立。,取f(x)=x4，有：,所以，抛物线求积公式的代数精确度是3,2、求积公式的截断误差：真值与近似计算所得的结果之差,3、定理5.1：P104,证明：根据定理2.1有：,两边积分：,因此,定理得证,4、定理5.2：P1
4、05,证明：已知抛物线求积公式代数精确度为3，构造一个3次差之多项式：,应用第二章的知识得：,两边从a到b积分得：,因P3是三次多项式，所以对抛物线求积公式是精确成立的，即：,于是得到：,因此抛物线求积公式的截断误差为：,5.3 复化公式及其误差估计,1、复化梯形求积公式：,若把区间2n等分，则可得到T2n，它与Tn之间关系是：,其中：,2、复化抛物线求积公式：,3、复化梯形求积公式的误差估计：,由于f(x)在a，b上连续，利用连续函数的性质，在a，b存在一点使,这样就得到了复化梯形求积公式的截断误差：,4、复化抛物线求积公式的误差估计：,证明：,这样就得到了误差估计：,5、例2：计算积分,要
5、求保证有5位有效数字。问若用复化梯形求积公式，n应取多少？若用复化抛物线求积公式计算，n又应取多少？,解：由f(x)=ex，有f(x)=f(4)(x)=ex，故当x在0，1内时有：,而根据复化梯形求积公式的误差估计式有：,I的真值具有一位整数，根据第一章误差与有效数字的关系，只要取：,两边取对数并整理得：,所以只要1/h=68即可，也即把区间0，1等分为68份就可：,用复化抛物线求积公式计算，由式（5.16）有：,两边取对数并整理得：,所以只要1/h=3即可，也即把区间0，1 6等分就可：,5.4 逐次分半法,1、问题所在：结合上节误差估计式以复化梯形公式为例,区间n等分时截断误差：,区间2n
6、等分时截断误差：,两式相减得：,当f()在区间a,b上连续，并假定n充分大时f(n)近似等于 f(2n),则：,由上式可以看出可用T2n-Tn描述误差，即由：,来判断T2n是否以满足要求。下面具体讨论,2、梯形求积公式的逐次分半法：,（1）取n=1，计算T1,如右图所示,（2）把区间a,b分割为两等份，取n=2，计算T2,如右下图所示：,其中：,（2）把区间a,b四等份，取n=4，计算T4,如右下图所示：,其中：,一般计算公式：,而截断误差就用下式判断是否满足要求。,计算过程如下：P113算法5.1,、输入a,b, ,、置n=1,h=(b-a)/2,T0=h(f(a)+f(b), 、置F=0,
7、对i=1,2,n，求F=F+f(a+(2i-1)h), 、T= T0 /2+hF, 、|T- T0| n，h/2= h，T= T0，转,3、抛物线求积公式的逐次分半法：用类似的方法求s1, s2 ,sn, s2n,类似前面截断误差估计分析，利用复化抛物线公式的误差估计式，可得：,计算过程如下：P113算法5.2,、输入a,b, , 、置F=0,对i=1,2,n，求F3=F3+f(a+(2i-1)h),、置F1=f(a)+f(b),F2=f(a+b)/2), 、S= h(F1+ 2F2+ 4F3)/3, 、|T- T0| n，h/2= h， F2+ F3 = F2 ，S=S0,转,4、例3：P1
8、14用复化梯形公式、复化抛物线公式和n=6的牛顿-科茨公式计算积分：,下表给出sinx在7个点的值，计算结果与精确值比较,计算结果与真值比较：,若要具有5位有效数字，则：,（1）、复化梯形公式：,则要求h0.006,（2）、复化抛物线公式：,则要求h0.15,（3）、逐次分半抛物线公式计算：,5.5加速收敛技巧与Romberg求积,1、加速收敛技巧Richadson外推法：,真值F*，近似值F，考虑真值与h无关，而F是与h有关的函数，记为F1(h)，它的截断误差估计式记为：,问题是能否通过上式构造一个新的序列，使它逼近更好，用qh代替q得：,其中：,都是与h无关的常数，令,2、Romberg求
9、积法：,Romberg求积是在复化梯形求积公式的基础上，应用Richardson外推法构造的一种算法。复化梯形求积公式的误差可表示为：,区间a,bn等分并用复化梯形公式求得近似值Tn，记为T0(h)，再把a,b 2n等分并计算得近似值T2n，记为：,如此下去，可得到一个序列：,下面具体用Richardson外推法计算过程：假设求得,利用前面公式5.24，,我们对符号做一个规范：,用Richardson外推法得到的外推m次的序列,我们记,外推m次的记为,于是有：,外推m次的计算公式是：,另一个表：,计算停止标准：,3、算法5.3：,、输入a,b, ,、置h=(b-a)/2,T0(0)=h(f(a
10、)+f(b),k=1,n=1, 、置F=0,对i=1,2,n，求F=F+f(a+(2i-1)h), 、T0(k)= T0(k-1) /2+hF, 、对m=1,2,k,计算, 、|Tm(0)- T(0)m-1| n，h/2= h，k+1= k，转,解：,先用逐次分半法计算n=0,1时的值：,然后用Romberg外推法求一次外推值：,再用逐次分半法计算n=2时的值：,再用Romberg外推法求一次外推值：,再用Romberg外推法求二次外推值：,因为|T2(0)-T1(0)|=0.0000627不满足精度要求，重复上面过程，先用逐次分半法求n=3时的值,再用Romberg外推法求后面一次、二次外推
11、值：,因为|T3(0)-T2(0)|=0.00000010.5*10-4,满足精度要求,所以,5.6高斯（Gauess）型求积公式,1、问题提出：,在节点数目固定的条件下，能否适当地选择节点位置和相应的系数，求积公式：,具有最大代数精确度,先分析一下上面公式可达的最大代数精确度,假设对所有m次多项式,都是准确的，则有：,得：,上式成立的充分必要条件是：,上面方程组有2n个未知数，最多可改出2n个独立条件，也即m最大为2n+1，也就是说n个点的求积公式最大精确度可达2n+1.,下面就讨论如何选取这n个点，考虑n=2，不失一般性选区间为-1，1，否则可变换：,现在的问题是如何选取x1,x2,A1,
12、A2使,由前面方程组可得只要解下面方程组即可：,当n较大时，考虑用正叫多项式的特性来求节点，,得：,两边积分得：,若积分对任意一次多项式恒有：,因求积公式,对任意一次多项式都精确成立，所以有：,要使式,恒成立所以必须有：,计算两个积分得：,然后利用求积公式,对f(x)=1，和f(x)=x准确成立得：,再对一般情形讨论高斯型求积公式。考虑积分：,问题是如何选取x1,x2,xn使求积公式,当f(x)是不高于2n-1次的多项式时精确成立，同前面一样，用,去除f(x)，并表示为：,如果对任何不超过n-1次得多项式q(x)都有：,因求积公式,对任何一个不超过n-1次的多项式精确成立，所以此时有：,而由上面条件，利用区间a,b上关于非负权函数的正交多项式系Pn(x)的性质：,（1）、Pn的n个零点是实数，（2）、n个零点不相重，（3）、n个零点分布在（a,b）中，（4）总能构造出给定权函数的正交多项式系,Pn(x)的n个零点就是高斯型求积公式的n个节点，然后按下面公式计算系数,2、定理5.5：P125,高斯型求积公式的截断误差,3、几种常用的高斯型求积公式：,5.7 方法的评述,作业,P1321.(1)56 （上机）7 （上机）,方便性,模式,所以此时有：,第五章 数值积分,5.1 求积公式,2、把a,b区间二等分，过a,b及等分点作抛物线得辛普森公式：,
