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1、第一章 统计案例,1.1回归分析的基本思想及其初步应用,对 比数学3中“回归”增加的内容,数学统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程ybxa用回归直线方程解决应用问题,选修-统计案例引入线性回归模型ybxae了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -有一个确定性的关系？,例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：
2、,复习:变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,2、现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等,探索1：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500450400350300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,施化肥量,水稻产量,散点图,1.最小二乘法：,称为样本点的中心,3、对两个变量
3、进行的线性分析叫做线性回归分析。,2、回归直线方程：,2.相应的直线叫做回归直线。,1、所求直线方程 叫做回归直 -线方程；其中,3.求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么量来说明？,1.用相关系数 r 来衡量,2.公式：,3.性质：,、当 时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。、当 时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。,相关关系的测度（相关系数取值及其意义）,r,练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:,(1)求x,y之间的相关系数;(2)求线性回归方程;
4、,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,于是有b=,所以回归方程是,所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性
5、相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。,思考P3产生随机误差项e的原因是什么？,思考P3产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 y 的观测误差。,对函数模型回归模型进行比较,问题一.函数
6、模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,可以提供选择模型的准则,问题一：函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,函数模型中，因变量y完全由自变量x确定。线性回归模型y=bx+a+e中增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。,在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。,对残差的理解, ,问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获取随机误差的值以提高预报变
7、量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此在此我们引入残差概念。,对回归模型进行统计检验,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差
8、图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,思考P6：如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上与解析变量（身高）有关
9、？在多大程度上与随机误差有关？,问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？ 假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，即8个人的体重都为54.5kg。,在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如此。这就意味着预报变量（体重）的值受解析变量（身高）或随机误差的影响。,例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析变量
10、和随机误差的组合效应。,编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,在例1中，总偏差平方和为354。,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误
11、差把这些点从回归直线上“推”开了。,在例1中，残差平方和约为128.361。,例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几
12、种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R2 0.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,小结,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。,
13、（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性 回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现 不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是 否合适等。, ,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）, ,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）, ,产卵数,气温,变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系,对数,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）,方法三：指数函数模型, ,问题六：若两个变量呈现
14、非线性关系，如何解决？（分析例2）, ,最好的模型是哪个?,显然，指数函数模型最好！,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）, ,课堂知识延伸,我们知道，刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印，即将获得一条重要的破案线索，其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系，可以根据一个人的脚掌长度来来预测他的身高 我们还知道，在统计史上，很早就有人收集过人们的身高、前臂长度等数据，试图寻找这些数据之间的规律 在上述两个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组4-6名同学，在老师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的实践能力。 数学建模的题目是：收集一些周围人们的脚掌长度、前臂长度中的一个数据及其身高，来作为两个变量画散点图，如果这两个变量之间具有线性相关关系，就求出回归直线方程，另选一个人的这两个变量的数据，作一次预测，并分析预测结果。 最后以小组写出数学建模报告，报告要求过程清晰，结论明确，有关数学论述准确，以下两个问题需要注意： （1）如果脚掌长度不方便，可改量脚印的长度。 （2）数据尽量取得分散一些。,
