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1、,第五章约束问题的最优化方法5.1引言5.2内点惩罚函数法5.3外点惩罚函数法5.4混合惩罚函数法5.5随机方向搜索法5.6复合形法5.7可行方向法5.8约束优化设计方法小结,5.1引言在机械设计问题中,大多数的优化问题都属于有约束的问题,其数学模型的一般形式为min f(x)xXcRstgn(x)0u=1,2,mh,(x)=0v=1,2,pn求解这类问题的方法通常称为约束优化计算方法。根据求解方式的不同可以分为间接解法和直接解法两大类间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法直接解法是在满足不等式约束g(x)0(u=1,2,m)的可行设计区域内直接搜索问题的约束最优解x
2、和f(x)。,5.1引言有约束问题解法分类直接解法:随机方向搜索法、复合形法、可行方向法间接解法:内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法二.直接解法的基本思想合理选择初始点,确定搜索方向,以迭代公式x(+)=x()+a)sa)在可行域中寻优,经过若干次迭代,收敛至最优点。收敛条件边界点的收敛条件应该符合K-T条件内点的收敛条件为)-x;和|f(x)y+)-f(xys2f(x)4),5.1引言特点:在可行域内进行若可行域是凸集,目标函数是定义在凸集上的凸函数,则收敛到全局最优点;否则,结果与初始点有关,5.1引言有解的条件f(x)和g(x)都连续可微存在一个有界的可行城可行域为非空集迭代
3、要有目标函数的下降性和设计变量的可行性三.间接解法的基本思想目的:将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决方法:以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数(x,r1,r2),成为无约束优化问题。通过不断调整加权因子产生一系列函数的极小点序列xa3(r12(),r20)k=0,1,2.,逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。其中:新目标函数:(x,r,2)=f(x)+G!(x)+Hh(x),5.1引言新目标函数:x,),)=f(x)+“8(x)+“Hh(x)其中:nOg(x)+n2Hh(x)为惩罚项加权因子,即惩罚因子:r1(),r2()无约束优化问题:min.(x,F,2)函数的极小点
4、序列xa)(r10),r2()k=0,1,2其收敛必须满足:G(x)=0liHh(x)=0im(x),r,r2)-f(x)=0,5.2内点惩罚函数法(障碍函数法)基本思想内点法将新目标函数(x,r)ux, rA中(x,rk)=2x-1构筑在可行域D内,随着惩罚因(x)x子r(x)的不断递减,生成一系列新目标函数(xk,r(),在可行域内逐步迭代,产生的极值点x:(r)序列从可行域内部趋向原x)=1-x目标函数的约束最优点x域例:求下述约束优化问题的最优点min.f(x)=xxRxx, Xtg(x)=1-x新目标函数:(x,)=x-r()11,对新目标函数求导,并令其为零,得极值点表达式q(x,
5、k)=2x-1x(r(k)=1+rk)新目标函数的值为(x(r6),r()=1+2.001X*(r(k)o(x(r()r()31.63x)=1-x0极值点随r的递减将沿一直线(x(r(),r()=2x(r()-1从域内向x收敛,5.2内点惩罚函数法二.惩罚函数的形式(x,r()=f(x)-r21g(x)其中gn(x)0.,u=1,2,m(x,m)=f(x)+r11n(x)其中:gn(x)0,=-1,2,mn(x,r)=f(x)-8n(x)其中:gn(x)0,u=1,2,m(x,r)=f(x)+r1- 8, (x)0(x,p)=f(x)-mh-g(x)其中:gn(x)0.u=12m其中:惩罚(加权)因子(k-1)降低系数c00则(x,r“)f(x),x*x,5.2内点惩罚函数法三.步骤:1.选取合适的初始点x0,以及r(、c、计算精度E1、E22.构造惩罚(新目标)函数3.调用无约束优化方法,求新目标函数的最优解x和(xk,r();4.判断是否收敛:运用终止准则x(r)-x*(E中(x41*(r)-(x2*(r()d(x41)*(r)若均满足,停止选代,有约束优化问题的最优点为x*=x1*若有一个准则不满足,则令x=x*(r“),r=cr,k=k+1并转入第3步,继续计算,
