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1、第1章 行列式,行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克莱姆法则.,第1章 行列式,2,n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则行列式的一个简单应用数学实验,第1.1节 n阶行列式的定义,3,本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式,返回,4,即,称其为二阶行列式 .,记号：,它表示数：,左上角到右下角表示主对角线，,例,例,设,(1)当 为何值时，,(2)当 为何值时,解,或,右上角到左下
2、角表示次对角线，,例3 求二阶行列式,(2)三阶行列式,7,记号,即,称为三阶行列式.,它表示数,8,可以用对角线法则来记忆如下.,9,主对角线法,例4 计算三阶行列式,10,解:由主对角线法，有,例5,例6,满足什么条件时有,解,由题可得，即使,即,时，,给定的行列式为零,例7,的充分必要条件是什么？,解,或,或,练习：,计算下列行列式,解,1.排列及其逆序数,15,(1)排列,由自然数1,2,n,组成的一个有序数组i1i2in称为一个n级排列.,如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：,123 132 213 231 312 321,（总数为 n!个）,注意:上述排列中只有第一个为自
3、然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)构成逆序.,1.2 n阶行列式,(2)排列的逆序数,16,定义： 在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N (i1i2in).,=3 =2,例1 N (2413) N(312),(2)排列的逆序数,17,定义： 在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N (i1i2in).,奇偶排列: 若排列i1i2in
4、的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.,=3 =2,例1 N (2413) N(312),逆序数的计算方法,即,例2 N(n(n-1)321) N(135(2n-1)(2n)(2n-2) 42),=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2,=2+4+(2n-2)=n(n-1),证明：,19,对换：,对换在一个排列i1isit in中，若其中某两数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列i1itis in,这种变换称为一个对换, 记为( is it).,例3,定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。,20,对换在相邻两数间发生，即设排列 jk (1) 经j,k对换变成 kj
5、(2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列 ji1isk (3) 经j,k对换变成 k i1is j (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 kj i1is j经s次相邻对换成为 ki1is j 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. |,定理1.2,22,思考练习（排列的逆序数
6、详解）,方法1 在排列x1x2xn中，任取两数xs和xt(st),则它们必在排列x1x2xn或xnxn-1x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2xn中取两数的方法共有,依题意，有,故排列 x1x2xn 与 xnxn-1x1 中逆序之和为,此即,方法2,23,n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,n),若在排列x1x2xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1x1中对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为,li+(n-i)-li= n-i (i=1,2,n),此即,（二）n阶行列式定义,24,分析：,(i)每一项均是由取自不同行、
7、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为,(ii)符号为,“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）,(iii)项数为 3！=6,推广之，有如下n 阶行列式定义,26,定义：,是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积,并冠以符号 的项的和.,(i) 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；(iii) 表示对所有的 构成的n！个排列求和.,例1 证明下三角行列式,27,证： 由定义,和式中,只有当,所以,下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .,例2 计算,29,解,由行列式定义,和
8、式中仅当,注：,例3,用行列式的定义来计算行列式,解,设,练习：,例4,应为何值，,符号是什么？,此时该项的,解,此时,或,(1),若,则,取负号,(2),若,则,取正号,若,是五阶行列式,的一项，则,例5,用行列式定义计算,解：,由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明,34,定理1.3: n阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为,其中i1i2in和j1 j2 jn都是n级排列 .,或,另一定义形式,另一定义形式,推论:n阶行列式D=Det (aij) 的值为,4.转置行列式,35,定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D
9、的转置行列式，记为DT.即若,36,用定义计算,思考练习 （n阶行列式定义）,答案,1.3 行列式的性质,37,对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易, 但对一般的、高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的 . 因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.,返回,性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）,38,证：事实上,若记 DT=Det(bij),则,解,例1 计算行列式,性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号 .,39,推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 .性质3,推论 (1) D中行列式某一
10、行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符号的外面， (2) D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.,性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即,40,证,性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即,41,2022/12/4,例2 计算行列式,43,解,解,44,解,45,2022/12/4,2022/12/4,2022/12/4,即,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2022
11、/12/4,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例6 计算n阶行列式,52,解(2),解(3),解(1),解(1),53,注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有,返回,解(2),54,注意到行列式各行元素之和等于,有,返回,55,解 (3),返回,箭形行列式,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例9 证明,61,证,证,62,63,2.证明,
12、1.计算行列式,思考练习 （行列式的性质）,64,思考练习（行列式性质答案）,65,=右边,思考练习（行列式性质答案）,第1.3 节 行列式按行（列）展开,66,1.行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,返回,返回,例1 求出行列式,67,解,2022/12/4,引例：,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,定理1.4 行列式按一行（列）展开定理,70,n阶行列式,等于它的任意一行
13、（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,证,71,(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即,而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ;,72,(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即,将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列,经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即,(iii) 一般地,由 (i),73,由(ii),定理1.5 n阶行列式,74,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,证,75,考
14、虑辅助行列式,0=,例2 计算行列式,76,解,法1,法2,选取“0”多的行或列,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2022/12/4,注：,例4 讨论当 为何值时，,79,解,所以当论 ，,例5 求证,80,证明：首先从第1行起，每行减去下一行，然后按第1列展开，之后又从第1行起每行减去下一行，化为下三角行列式即得结果，即,81,82,例6 已知4阶行列式,83,解,法1,法2,利用行列式的按列展开定理，简化计算.,84,例7 证明范得蒙行列式（Vandermonde),85,证,用数学归纳法,假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形.,86,87,例8 计
15、算行列式,88,解1,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,89,解2 利用范德蒙行列式的结论,例9 计算n阶行列式,90,解,91,解,思考练习 （按行展开定理）,92,计算行列式,思考练习（按行展开定理详解1）,93,思考练习（按行展开定理详解2）,94,2*.拉普拉斯（Laplace）定理,95,k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列 （1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而,为其代数余
16、子式.这里i1,i2,ik, j1, j2, jk分别为 k阶子式N的行标和列标.,96,在n阶行列式,拉普拉斯（Laplace）定理,任意取定k行(1 kn),由这k行元素组成的k阶子式N1, N2 ,V t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即,97,例7 计算行列式,解,98,一般地,2022/12/4,第1.5节 克莱姆法则,下面以行列式为工具,研究含有n个方程,n个未知量的n元线性方程组的问题.先以二元线性方程组为例,2022/12/4,当系数行列式D0时，方程组有唯一解：,二元线性方程组,称为方程组的系数行列式。,101,定理1.7（克莱姆法则） 如果n元线性方程组,则方程组有
17、唯一解,的系数行列式,返回,返回,102,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：方程组（1）有解； 解惟一且可由式(2)给出.,证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将,103,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式(2)给出的是方程组(1)的解.,104,下面证明解惟一.设xj=cj(j=1,2,n)为方程组 (1)的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式 A1j, A2j , Anj依次乘以上式各等式，相加得,从而 Dcj=Dj 由于D0,因此,即方程组的解是惟一的.,20
18、22/12/4,例解线性方程组,=21000,=1680,所以方程组有唯一解.,2022/12/4,阜阳师范学院数学与计算科学学院,=120,=420,=720,D=21000,D1=1680,2022/12/4,D=2100 D1=1680 D2=420 D3=720 D4=120,方程组的唯一解为：,例2 解线性方程组,108,解 系数行列式,109,的系数行列式D0，则方程组只有零解; 而若方程组有非零解，则D=0.,推论 齐次线性方程组（3）有非零解的充分必要条件是系数行列式D=0,定理1.8 如果齐次线性方程组,例3 若齐次线性方程组,110,解 系数行列式,方程组有非零解，则D=0.于是=3或 =0.,有非零解，求值.,例3,111,解,第1.5节 数学实验,112,利用命令Det可以计算行列式. 例1 计算行列式,返回,113,
