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1、整 数 规 划(Integer Programming),整数规划的模型,分支定界法,01 整数规划,在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化模型就称为整数规划（离散最优化）模型。,整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且，一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。,整数线性规划数学模型的一般形式,整数规划（IP）松弛问题整数线性规划（ILP）的数学模型：,一、整数规划的数学模型及解的特点,决策变量只能取值0 或 1。,整数规划问题的类型,纯整数线性规划(pure integer linear programming),全部
2、决策变量都必须取整数值。,混合整数线性规划(mixed integer linear programming),决策变量中一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值。,0-1型整数线性规划(zero-one integer linear programming),例1、 某公司准备投资 50 万元为其产品做广告，广告代理商给公司的有关广告方式的费用和其效果情况如下表，公司面临的管理决策问题是广告总费用不超过 50 万元的基础上选择哪些广告方式，使得潜在顾客数尽可能地多。,整数规划问题实例,xi =,1 选择第i 种广告方式0 不选择第i种广告方式,Max Z = 40 x1 + 20 x2
3、+ 25x3 + 10 x4 40 x1 + 15x2 + 20 x3 + 10 x4 50 x1 ，x2 ，x3 ，x4 = 0 或 1,例1、 模型设：xi（i = 1,2,3,4） 表示4 种广告方式。,例2、某公司在城市的东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置（地点）Ai（i=1，2，7）可供选择。公司规定： 在东区，由 A1，A2，A3 三个点中至多选两个； 在南区，由 A4，A5 两个点中至少选一个； 在西区，由 A6，A7 两个点中至少选一个。 如果选用 Ai 点，设备投资估计为 bi 元，每年可获利润估计为 ci 元，但投资总额不能超过 B 元。问公司选择哪几个点可使年总利
4、润最大？,例2、模型 设：,Ai =,1 选择 Ai 建立门市0 不选择 Ai 建立门市,Max Z = ci Ai bi Ai B A1 + A2 + A3 2 A4 + A5 1 A6 + A7 1 Ai = 0 或 1 ，（i = 1，2，3，4，5，6，7）,例3：运动员选拔问题4*100m混合泳接力是观众最感兴趣的游泳项目之一。现在从实例出发，研究混合泳运动员的选拔问题：甲、乙、丙、丁是4名游泳运动员，他们各种姿势的100m游泳成绩见下表，为组成一个4*100m混合泳接力队，怎样选派运动员，方使接力队的游泳成绩最好？,设：工序 B 有两种方式完成方式（1）的工时约束: 0.3x1 +
5、 0.5x2 150方式（2）的工时约束: 0.2x1 + 0.4x2 120 问题是完成工序 B 只能从两种方式中任选一种，如何将这两个互斥的约束条件统一在一个线性规划模型中呢？,例4、应用 0-1 变量解决含互斥约束条件问题,例4、模型 引入 0-1 变量,y1 =,0 若工序 B 采用方式（1）完成1 若工序 B 不采用方式（1）完成,y2 =,0 若工序 B 采用方式（2）完成1 若工序 B 不采用方式（2）完成,于是前面两个互斥的约束条件可以统一为如下三个约束条件： 0.3x1 + 0.5x2 150 + M1y1 0.2x1 + 0.4x2 120 + M2y2 y1 + y2 =
6、 1 其中 M1 ，M2 都是足够大的正数。,有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使总收益最大。,例5固定费用问题,解：设xj为第j种产品的生产数量，j=1,2,3；,yj =,1 当生产第j种产品, 即 xj 0 时,0 当不生产第j种产品即 xj = 0 时,引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。,可建立如下的数学模型：,Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 +
7、 4x2 + 8x3 500 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj 0 yj 为0-1变量，i = 1,2,3,例6、合理下料 造某种机床，需要 A ，B ，C 三种轴件，其规格与数量如下表，各类轴件都用5.5米长的同一种圆钢下料。若计划生产100台机床，最少要用多少根圆钢？,例6、模型 分析该问题后，发现较合理的下料方案有：,例6、模型 设：xi 采用方案i下料所用的原料根数。,Min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x1 + x2 = 100 x1 + x4 + 2x5 = 2
8、00 2x2 + 4x3 + 2x4 + x5 = 400 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 0 ，且为整数,例7、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2m),又有n个地点B1,B2, Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2bn 。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，既满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？,设 xij :从工厂运往销地的运量(i=1,2m、j=1,2n), 1 在Ai建厂 yi （i=1.2m） 0 不在Ai建厂,模
9、型：,（三）整数规划与线性规划的关系,从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。举例说明。,例：设整数规划问题如下,首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。,用图解法求出最优解x13/2, x2 = 10/3且有Z = 29/6,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),现求整数解（最优解）：如用“舍入取整法”可得到4个点即(1，3)、 (2，3)、(1，4)、(2，4)。,按整数规划约束
10、条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。,显然，它们都不可能是整数规划的最优解。,因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。 如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。,目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法；对于特别的01规划问题采用隐枚举法 和匈牙利法。,（一）基本思路,考虑纯整数问题：,整数问题的松弛问题：,二、分枝定界法,(B)为(A)的松弛问题。,分枝定界法一般步骤：,(1) 先解(A)的松弛问题(B),(2) (B)无可行解(A)无可行解。 (B)最优解符
11、合(A)要求，停。 (B)最优解不符合(A)要求，转(3)。,(3) 估整数解S0 ，定界（上界、下界）,(4) 选(B)解中不符合整数条件的分量Xj (Xj = bj )分枝，作(B)的后续问题(C)、(D)。 (C)：(B) 加约束Xj bj+1 (D)：(B) 加约束Xj bj,(6) 全部枝剪完，停,(5) 解(C)、(D),例1：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）,记为（IP）,解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题,记为（LP）,例题,用图解法求（LP）的最优解，如图所示。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),对于x118/111.64， 取值x1 1，
12、x1 2对于x2 =40/11 3.64，取值x2 3 ，x2 4先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 1, x1 2,x118/11, x2 =40/11 Z(0) =218/11(19.8) 即Z 也是（IP）最小值的下限。,有下式：,现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),先求（LP1）,如图所示。此时在B 点取得最优解。 x11, x2 =3, Z(1)16找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,1,1,同理求（LP2） ,如图所示。在C 点取得最优解。即x12, x2 =10/3, Z(2) 56/318.7,B,
13、A,C,(2) Z()16 原问题有比（16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 10/34 加入条件。,加入条件： x23, x24 有下式：,只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,先求（LP3）,如图所示。此时在D 点取得最优解。即 x112/52.4, x2 =3, Z(3)-87/5 -17.4 Z(1)-16但x112/5不是整数，可继续分枝。即 3x12。,D,求（LP4），如图所示。无可行解，不再分枝。,在（LP3）的基础上继续分枝。加入条件3x12有下式：,只要求出（LP5）和（LP6）的最优
14、解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,D,先求（LP5）,如图所示。此时在E 点取得最优解。即 x12, x2 =3, Z(5)17找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,E,求（LP6），如图所示。此时在F点取得最优解。x13, x2 =2.5, Z(6)31/215.5 Z(5),F,如对 Z(6) 继续分解，其最小值也不会低于15.5 ，问题探明,剪枝。,至此，原问题（IP）的最优解为： x1=2， x2 =3, Z* = Z(5) 17以上的求解过程可以用一个树形图表示如右：,LP1x1=1, x2=3Z(1) 16,LPx1=18/11, x2
15、=40/11Z(0) 19.8,LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5,LP3x1=12/5, x2=3Z(3) 17.4,LP4无可行解,LP5x1=2, x2=3Z(5) 17,LP6x1=3, x2=5/2Z(6) 15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,例2:用分枝定界法求解整数规划问题,x11,x12,x22,x23,x22,x23,x12,x13,LP1x1=1, x2=7/3Z(1) 10/3,LPx1=3/2, x2=10/3Z(0) 29/6,LP2x1=2, x2=23/9Z(2) 41/9,LP3x1=33/14, x2=2Z(3) 61/1
16、4,LP4无可行解,LP7x1=2, x2=2Z(7) 4,LP8x1=3, x2=1Z(8) 4,x11,x12,x22,x23,x12,x13,解:用单纯形法解对应的(LP)问题,如表所示,获得最优解。,初始表,最终表,例3、用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）,x1=13/4 x2=5/2 Z(0) =59/414.75 选 x2 进行分枝，即增加两个约束，2 x2 3 有下式：,分别在(LP1)和(LP2)中引入松弛变量x5和x6 ，将新加约束条件加入上表计算。即 x2+ x5= 2 , x2+x6=3 得下表:,x1=7/2, x2=2 Z(1) =29/2=14.5继续分枝，加
17、入约束 3 x1 4,LP1,LP2,x1=5/2, x2=3 Z(2) =27/2=13.5 Z(2) Z(1) 先不考虑分枝,接(LP1)继续分枝，加入约束 4 x1 3，有下式：,分别引入松弛变量x7 和 x8 ，然后进行计算。,x1=3, x2=2 Z(3) =13找到整数解，问题已探明，停止计算。,LP3,x1=4, x2=1 Z(4) =14找到整数解，问题已探明，停止计算。,LP4,树形图如下：,LP1x1=7/2, x2=2Z(1)29/2=14.5,LPx1=13/4, x2=5/2Z(0) 59/4=14.75,LP2x1=5/2, x2=3Z(2)27/2=13.5,LP
18、3x1=3, x2=2Z(3) 13,LP4x1=4, x2=1Z(4) 14,x22,x23,x13,x14,练习：用分枝定界法求解整数规划问题 （单纯形法）,LP1x1=1, x2=3Z(1) 16,LPx1=18/11, x2=40/11Z(0) 19.8,LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5,LP3x1=12/5, x2=3Z(3) 17.4,LP4无可行解,LP5x1=2, x2=3Z(5) 17,LP6x1=3, x2=5/2Z(6) 15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,隐枚举法(max),原则：1、用试探法，求出一个可行解，以它的目标值 作为当
19、前最好值Z02、增加过滤条件Z Z03、将xi 按ci由小大排列,三、01 整数规划,01 整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的决策变量xi 只取两个值0或1，一般的解法为隐枚举法。,例1：maxZ = 3x1 -2x2+5x3,x1 +2x2 - x3 2 x1 +4x2 +x3 4 x1 + x2 3 4x2+x3 6 x1 , x2 , x3为0或1,解： 观察得解(x1 , x2 , x3 )=(1 ,0 ,0) Z0 =3,过滤条件：3x1 - 2x2+5x3 3,将(x1 ， x2 ，x3 ) (x2 ，x1 ，x3 ),解(x2 x1 x3 ) 目标值 Z0 当前最好值 (0 ,0 ,0) 0 5 (0 ,1 ,0) 3 8 (1 ,0 ,0) -2 (1 ,0 ,1) 3 (1 ,1 ,0) 1 (1 ,1 ,1) 6 ,最优解 x = (1 ,0 ,1 )T Z=8,（0 . 1 . 1 . 0 . 0）,练习：用隐枚举法求解01规划问题,
