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1、.,5.3 双曲线,.,第一节 双曲线的 标准方程,.,1.椭圆的定义,和,等于常数,2a ( 2a2c0),的点的轨迹.,平面内与两定点F1、F2的距离的,2.引入问题：,|MF1|+|MF2|=2a( 2a2c0),轨迹演示,知识回顾,., 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距。,（1）2a2c ；,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。,（2）2a 0 ；,1.双曲线定义,思考：,（1）若2a=2c,则轨迹是什么？,（2）若2a2c,则轨迹是什么？,说明,（3）若2a=0,则轨迹是什么？,|MF1| - |MF2
2、| = 2a(2a2c),(1)两条射线,(2)不表示任何轨迹,(3)线段F1F2的垂直平分线,新课讲解,.,求曲线方程的步骤：,2.双曲线的标准方程,1. 建系：,以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,2.设点：,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式：,|MF1| - |MF2|=2a,.,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,4.化简：,.,焦点在x轴上,焦点在y轴上,.,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,知识理解,2、双曲线 中，A1A2叫实轴，这两个点叫实轴顶点。,（1）实轴顶点坐
3、标是？实轴长？,（2）若M在双曲线左支上，|MF1|范围？M在右支上？椭圆上的点M到F1范围？,.,O,x,y,F1,F2,M,（1）A1(-a，0),A2(a,0),|A1A2|=2a,（2）椭圆中，|MF1| a-c,a+c双曲线中，M在左支， |MF1| c-a, +)M在右支， |MF1| c+a, +),.,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,.,例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)
4、双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=_ , c =_ , b =_,(2) 双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点， |PF1|=10, 则|PF2|=_,3,5,4,4或16,6,例题讲解,一、求双曲线的标准方程,.,1.若椭圆 与双曲线 的焦点相同,则 a =,3,跟踪练习,2. 已知P为双曲线x2-9y29上一点，F1，F2为二焦点，若|PF1|=7，求|PF2|。,若|PF1|=5?,.,例2. k 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是（ ）,解：原方程化为：,A、焦点在x轴上的椭圆,C、焦点在y轴上的椭圆,B、焦点在y轴上
5、的双曲线,D、焦点在x轴上的双曲线, k1, k21 0 1+k 0,方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。,故 选（B）,.,1. 方程 ，讨论方程表示的曲线是什么？,跟踪练习,规律：方程 表示曲线的条件：,(1)圆：A=B0,(2)椭圆：A0,B0,A B，再根据A,B的大小判断焦点的位置。,(3)双曲线：AB0，再根据A,B的正负判断焦点的位置。,.,写出适合下列条件的双曲线的标准方程,例3.,1.a=4,b=3,焦点在x轴上;,3.焦点在x轴上，经过点,4.a=4,过点(1, ),2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5),.,.,跟踪练习,.,解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比
6、在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例5. 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,.,1. 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 , 试求点M的轨迹方程。,跟踪练习,规律：平面内M与两个定点A、B斜率之积为定值m,(1) m0，轨
7、迹为以A,B为实轴顶点的双曲线(除开A,B点)；,(2) m0且m -1，轨迹为以A,B为长轴顶点的椭圆(除开A,B点)；,(3) m= -1，轨迹为以AB为直径的圆(除开A,B点)。,.,2.双曲线 的实轴两顶点A(a,0)和B(-a,0),PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦。直线AP与BQ交于M，求M的轨迹方程。,思考：若为椭圆呢？,o,x,y,A,P,B,Q,M,.,二、利用双曲线的定义求轨迹方程,例1. 圆A:(x+3)2+y2=4，B(3,0),动点P在圆上，且BP的中垂线交直线PA于M，求M的轨迹方程。,y,A,B,M,P,y,A,B,M,P,x,x,.,1.动圆M与两定圆F1：x2
8、y210 x240，F2：x2y210 x240都外切，求动圆圆心M的轨迹方程,跟踪练习,.,三、双曲线的应用,.,跟踪练习,1. P在双曲线3x2-4y212上，|PF1|:|PF2|=3:1(1)求三角形PF1F2面积；(2)求点P的坐标。,2.双曲线x2-y2a2上一点M到原点O距离为d,求|MF1|.|MF2|的值。,.,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),知识总结,.,第二节 双曲线的 几何性质,.,对于双曲线,1.范围：xa或xa，yR.,2.对称性：关于两坐标轴和原点对称.,3.顶点：实轴顶点(a，0) 虚轴顶点(0,
9、 b),4.实轴：A1A2=2a 虚轴：B1B2=2b,新课讲解,.,5.离心率,【定义】,焦距与实轴长的比,【范围】,e1.,【几何意义】,e1,双曲线开口越狭窄,e+ ,双曲线开口越开阔.,【变形公式】,y,x,o,F,2,F,1,A1,A2,B1,B2,.,y,x,o,F,2,F,1,A1,A2,B1,B2,6.渐近线：,或记为,注：(1) 的渐近线为：,y,x,o,F,2,F,1,B1,B2,A1,A2,或记为,(2) 与 的关系：,形状相同，实轴长、虚轴长、焦距、e都相同；渐近线，开口方向，实轴、虚轴、焦点位置不同。,a,b,a,b,.,(3) 与 的关系：,实轴和虚轴恰好互换（叫共
10、轭双曲线）；渐近线相同，焦距相同，e不同。,y,x,o,F,2,F,1,A1,A2,B1,B2,y,a,b,.,(4)等轴双曲线：, 时，开口左右； 时，开口上下；所有等轴双曲线渐近线都是:,(5)双曲线系：,与 有共同渐近线的双曲线系：,渐近线为 的双曲线系：渐近线为 的双曲线系：,.,7.准线方程,右准线的方程是,左准线的方程是,如图所示:,y,x,o,F,2,F,1,A1,A2,焦准距：,P,渐准点：P，有PFL渐,Q,.,8.双曲线第二定义平面内到定点F(C,0)距离与到定直线L:的距离之比为 的点的轨迹是双曲线。,d,M,y,x,o,F,2,F,1,A1,A2,.,双曲线中常见的量：
11、,1、离心率：,2、通径：,4、焦点三角形MF1F2面积：,M,y,x,o,F,2,F,1,3、双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为定值,.,双曲线的简单几何性质,.,例1.求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；（2）离心率 ，经过点M(5，3)；,（3）实轴长与虚轴长之和等于焦距的 倍， 一个顶点为(0，2)；（4）经过两点 ， 。,例题讲解,.,例2.求下列双曲线的标准方程：(1)渐近线方程为 ，经过点,(2)渐近线方程为 ，a=2,(3)与 有共同渐近线，且过点,.,跟踪练习,1.双曲线一条渐近线方程为2x+3y-5=0，求离心率。,2.双曲线一条渐近线方程为3x-4y=0，实轴顶点到其距离为4.8,求标准方程。,.,例3.设两动点A、B分别在双曲线的两条渐近线上滑动，且|AB|2，求线段AB的中点M的轨迹方程.,o,x,y,B,A,M,.,1.设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，已知PF2x轴，|PF2|6，双曲线的离心率为 ,求双曲线的顶点坐标.,（6，0）,o,x,y,F1,F2,P,跟踪练习,.,2. P为双曲线 ，三角形F1PF2的内切圆圆心为M，求M的轨迹方程。,
