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1、导热基本定律及稳态导热,1 、重点内容： 傅立叶定律及其应用； 导热系数及其影响因素； 导热问题的数学模型。 2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3 、了解内容：多维导热问题, 1 导热基本定律,一 、温度场 （Temperature field）1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标和时间的函数：,其中 为空间坐标， 为时间坐标。,2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场） （Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：,2 ）非
2、稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式： 若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。,等温面与等温线,等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇,等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面,等温面与等温线的特点：,(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交,(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上,物体的温度场通常用等温面或等温线表示,等温线图
3、的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示是用等温线图表示温度场的实例。,二 、导热基本定律,1 、导热基本定律（傅立叶定律） 1 ）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即,2 ）数学表达式：,（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）,3 ）傅里叶定律用热流密度表示：,其中 热流密度(单位时间内通过单位面积的热流量) 物体温度沿 x 轴方向的变化率,当物体的温度是三个坐标的函数时，其形式为:,是空间某点的温度梯度；,是通过该点等温线上的法
4、向单位矢量，指向温度升高的方向；,是该处的热流密度矢量。,式中：,2 、温度梯度与热流密度矢量的关系 如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面积 dA 附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。 1 ）热流线 定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。,2 ）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图 2-2 （ b ）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。,三 、导热系数 （ 导热率、比例系数）,1 、导热系数的含义 导热系数的定义式由傅里叶定律的数
5、学表达式给出：,数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。,2、影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等,3 、保温材料（隔热、绝热材料） 把导热系数小的材料称保温材料。我国规定： 350 时， 0.12w/mk 保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。 越小，生产及节能的水平越高。我国 50 年代 0.23W/mk 80 年代 GB4272-84 0.14w/mk GB427-92 0.12w/mk,4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热 更
6、高温度时：（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射,5 、超级保温材料 采取的方法：（ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 10 - 4w/mk,6 、各向异性材料 指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的 也有较大差别，这些材料称各向异性材料。此类材料 必须注明方向。相反，称各向同性材料。, 2-2 导热微分方程式及定解条件,由前可知： （ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）
7、对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。,一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。,2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同性的。,1 ）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体 由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量。 同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为 x 、 y 、 z 坐标方向的分热流量，如图 2-4 所示。, 通过 x=x 、 y=y 、 z=z ，三个微元表面而导入微元体的热流量： x 、
8、 y 、 z 的计算。 根据傅立叶定律得, 通过 x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三个微元表面而导出微元体的热流量 x+dx 、 y+dy 、 z+dz 的计算。根据傅立叶定律得：, 对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系： 导入微元体的总热流量 + 微元体内热源的生成热 = 导出微元体的总热流量 + 微元体热力学能（内能）的增量,(c),微元体热力学能的增量=,微元体内热源的生成热=,其中 微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。,导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量,将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：,这是笛卡尔坐标
9、系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。,1）对上式化简：,导热系数为常数,式中， ，称为热扩散率。,导热系数为常数 、无内热源,导热系数为常数 、稳态,导热系数为常数 、稳态 、无内热源,2）圆柱坐标系中的导热微分方程：,3）球坐标系中的导热微分方程：,综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项；（ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方
10、向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。,二、 定解条件,1 、定义：是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。,通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。,2 、分类 1 ）初始条件：初始时间温度分布的初始条件； 2 ）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。 说明： 非稳态导热定解条件有两个； 稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。,3 、导热问题的常见边界条件可归纳为 以下三类,（1）规定了边界上的温度值，称为第一类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要
11、求给出以下关系式：,（2）规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：,（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为,1 、热扩散率的物理意义 由热扩散率的定义可知： 1 ） 是物体的导热系数， 越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。 2 ）是单位体积的物体温度升高 1 所需的热量。 越小，温度升高 1 所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。,三、有关说明,由此可见物理意义： 越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力
12、越大。 越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。,2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3 ）若属极底温度（ -273 ）时的导热不适用。,2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热,本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：,1 单层平壁的导热,a 几何条件：单层平板；,b 物理条件：、c、 已知；无内热源,c 时间条件：,d 边界条件：第一类,x,根据上面的条件可得：,第一类边条：,
13、控制方程,边界条件,直接积分，得：,带入边界条件：,带入Fourier 定律,热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况,线性分布,2 、热阻的含义 热量传递是自然界的一种转换过程 , 与自然界的其他转换过程类同 , 如 : 电量的转换 , 动量、质量等的转换。其共同规律可表示为 :过程中的转换量 = 过程中的动力 / 过程中的阻力。,在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即,在平板导热中，与之相对应的表达式可改写为,这种形式有助于更清楚地理解式中各项的物理意义。式中：热流量为导热过程的转移量； 温压 为转移过程的动力； 分母 为转移过程的阻力。,由此引出热阻的概念： 1 ）热阻定义：热转移过程的
14、阻力称为热阻。 2 ）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐射热阻、对流热阻等。对平板导热而言又分： 面积热阻 R A ：单位面积的导热热阻称面积热阻。 热阻 R ：整个平板导热热阻称热阻。,3 ）热阻的特点： 串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。,3 多层平壁的导热,多层平壁：由几层不同材料组成,例：房屋的墙壁 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成,假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等,边界条件：,热阻：,由热阻分析法：,问：现在已经知道了q，如何计
15、算其中第 i 层的右侧壁温？,第一层：,第二层：,第 i 层：,4 单层圆筒壁的导热,圆柱坐标系：,假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。,一维、稳态、无内热源、常物性：,第一类边界条件：,(a),对上述方程(a)积分两次:,第一次积分,第二次积分,应用边界条件,获得两个系数,将系数带入第二次积分结果,显然，温度呈对数曲线分布,下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况,虽然是稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！,根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：,5 多层圆筒壁,由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算,通过单位长度圆筒壁的热流量,
16、6、通过球壳的导热,对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：,温度分布：,热流量：,热阻：,7 其它变面积或变导热系数问题,求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。,此时，一维Fourier定律：,当(t)时，,分离变量后积分，并注意到热流量与x 无关(稳态)，得,当 随温度呈线性分布时，即 0at，则,实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导
17、热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。,2-4 通过肋片的导热,一 基本概念 1 、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面 2 、常见肋片的结构：针肋 直肋 环肋 大套片 3 、肋片导热的作用及特点 1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热面 , 以强化换热,2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即： const 。 4 、分析肋片导热解决的问题 一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？ 二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？,1 通过等截面直肋的导热,已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0 t肋片与环境的表面传热系
18、数为 h.，h和Ac均保持不变求：温度场 t 和热流量 ,分析：假设 1 ）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析； 2 ）材料导热系数 及表面传热系数 h 均为常数，沿肋高方向肋片横截面积 Ac 不变； 3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的导热热阻 / ，即肋片上任意截面上的温度均匀不变； 4 ）肋片顶端视为绝热，即 dt/dx=0 ；,在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图（b）所示并将沿程散热量 视为负的内热源，则导热微分方程式简化为,导热微分方程：,引入过余温度 。令,则有：,混合边界条件：,方程的通
19、解为：,应用边界条件可得：,最后可得等截面内的温度分布：,双曲余弦函数,双曲正切函数,双曲正弦函数,稳态条件下肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量,肋端过余温度： 即 x H,2 肋片效率 为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率,肋片的纵剖面积,影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）,可见， 与参量 有关，其关系曲线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图查出 ，散热量,3 通过环肋及三角形截面直肋的导热 为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。 对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图214和215分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。,图 214,图 215,
