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1、4.3 常系数线性方程组,一阶常系数线性微分方程组:,本节主要讨论(5.33的基解矩阵的求法.,一、矩阵指数expAt的定义和求法,1 expAt的定义,定义,注1:,矩阵级数(5.34)是收敛的.,由于,而数项级数,收敛 .,注2:,级数,在t的任何有限区间上是一致收敛的.,由于,而数项级数,收敛 .,2 矩阵指数的性质,3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵,(1)定理9,矩阵,是(5.33)的基解矩阵,且,证明:,又因为,解,由(5.34)得,例2,解,因为,而后面两个矩阵是可交换的,故,(2) 基解矩阵的一种求法,则,其中,注1:,二 基解矩阵的计算公式,类似第四章4.2.2,寻求,形如
2、,将(5.43)代入(5.33)得,1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系,方程(5.44)有非零解的充要条件是,结论,即,例3,解,的根,解得,解得,例4,解,特征方程为,为求其对应的特征向量,考虑方程组,解得,2 基解矩阵的计算方法-常系数线性微分方程组的解法,(1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时,定理10,是常系数线性微分方程组,的一个基解矩阵.,证明:,由上面讨论知,每一个向量函数,都是(5.33)的解,因此矩阵,是(5.33)的解矩阵,所以,例5,解,由例3知,由定理10,矩阵,就是一个基解矩阵.,注:,但由于,有,从而,例6 试求例5的实基解矩阵.,解,由于基解矩阵为,故实基
3、解矩阵为,解,因此特征根为,它们相的特征向量为,故基解矩阵为,故通解为,(2) 矩阵A的特征根有重根时,由(5.49)有,的解产生的,由于,由(5.51)有,注1:,故,注2:,其中,例8 试解初值问题,解,从例4知,利用公式(5.53)即得,或者分别令,例9 如果,解,直接计算可得,因此由公式(5.53)可得,解,这里系数矩阵,特征根为,由(5.48)我们需要考虑下面方程,和,首先讨论,这个方程组的解为,其次,这个方程组的解为,解之得,代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得,(3) 非齐线性方程的解,下面研究非刘线性微分方程组,由于(5.60)对应齐次方程组,的基解矩阵为,故由常数变易公式,解,由例6知,故初值问题的解为,三 拉普拉斯变换的应用,(1)定义,定义其拉普拉斯变换为,常系数线性微分方程组:,1用拉普拉斯变换解微分方程,(2)定理12,(3) 推论,例11 利用拉普拉斯变换求解例10.,解,将方程写成分量形式,即,由此解得,故,即,解,对方程组取拉普拉斯变换得,即,解得,故,解,整理后得,解得,再取反变换得,2 用拉普拉斯变换求基解矩阵,对常系数齐线性微分方程组,解,即,也即,由克莱姆法则,有,从而,故基解矩阵,且,作业,P236 2,3(a),4(b),5(a),6(a),8,10(a),
