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1、小学数学整数领域问题解决的实践性研究 曹培英,跨 越 断 层 走 出 误 区,1,模型体系,二、存在问题,三、内容结构,四、方法系统,五、教学策略,一、相关概念,理论支撑,应用意识,2,一、相关概念,1.整数领域 指：整数的基础知识与整数的四则运算2.解决问题与问题解决 （实验稿） （2011版） “解决问题”动宾词组，涵义比较单一 “问题解决”翻译味浓，有悖汉语习惯 看作偏正词组“问题的解决”看作省略成份的短语，如“问题及其解决”等 “问题”与“解决” 并列，内涵更为丰富； 与“四能”目标相一致。 教材：由学生“提出问题解决问题”应常规化,3,3.“问题解决”的内涵,（1）问题解决是应用数学
2、的过程 （2）问题解决是一种重要的能力 （3）问题解决是数学学习的目的 （4）问题解决是一种教学的模式（5）问题解决是一种学习的方式 获取数学知识中的问题解决 应用数学知识中的问题解决,一、相关概念,4,脱离实际；浪费水资源一个水池，单开进水管60分满，单开排水管90分完。一个展馆，只进不出， 60分满，只出不进，90分完。先开进水管20分，再两管齐开，多少分后满?刚开馆只进，20分后有进有出，多少分后满?设水池180立方，则(180320)(32)120(分),二、存在问题,1.名词改了，实质呢？ 应用题实际问题 批判“水池进出水管同开”,120(分),简单的“动态平衡模型”,5,1.名词改
3、了，实质呢？ 应用题实际问题 批判“水池进出水管同开” 引进“鸡兔同笼”“植树问题” 批评“烙饼问题”没有实际意义，建议取消 这是一个数学观问题（数学特点、数学应用）,2.体系破了，建构呢？ 应用跟随知识跟不上；跟丢了 问题解决的内容结构？ 问题解决的模型体系？ 问题解决的方法系统？,二、存在问题,6,三、内容结构,1.整数概念的应用 几个与第几个 后续发展： 一个第几两个第几 即有序数对表示平面上点的位置,7,三、内容结构,“1亿有多大”对于数感作用甚微，恰是通过推理解决问题的好素材。,数学靠推理获得无须实验验证的结论。这是数学最本质的特征与精髓！只知“眼见为实”是核心素养的缺失。,1.整数
4、概念的应用 几个第几个 以万(亿)为单位精确到万(亿)位,8,三、内容结构,1.整数概念的应用 几个第几个 以万(亿)为单位精确到万(亿)位 倍数、因数；素数、合数；最大(小)公因(倍)数 36个同学，分成人数相等的小组(每组至少2人，至少2组)，可以怎样分？ 蝉的生长周期，长的有13年、17年，都是素数。这是为什么呢？ 教材：应用数学知识解释现实现象也应形成系列,9,三、内容结构,2.整数运算的应用,主要的编排线索：从运算本身考虑从数量关系考虑从学生特点考虑,10,“四则运算的应用”内容结构,运算本身：数量关系：,合与分 比差与比倍,已知两个量求,和差倍,几倍多(少)几,几点几倍,(%),a
5、:b,整数小数分数 比,多个同类量,多(少),ab,a:b:c:,(%),ab,11,“四则运算的应用”内容结构,运算本身：数量关系：,合与分 比差与比倍,学生特点：顺向思维的应用逆向思维的应用熟悉情境的应用典型情境的应用 陌生情境的应用,（新情境的应用）,归一与归总,两积的和差,12,三、内容结构,2.整数运算的应用,典型情境的应用：行程问题，植树问题，鸡兔同笼问题典型思路的应用：归一问题，归总问题，倒(逆)推问题(正比例) (反比例) (与顺推相对)以“归一”思路为例：,1832,6,9,1823,“归一”,(必学),(选学),18的三分之二,已知一数的三分之二是18,13,三、内容结构,
6、2.整数运算的应用,陌生(新)情境的应用对于学生而言：,一根竹竿插到水泥池底，露出水面3米，倒过来插，有1米是干的。你能求出竹竿全长吗？,1m,水池深,313,重复使用条件,14,“四则运算的应用”内容结构,运算本身：数量关系：,合与分 比差与比倍,学生特点：顺向思维的应用逆向思维的应用熟悉情境的应用典型情境的应用 陌生情境的应用条件不重复使用有条件重复使用 以两步运算的应用为例,归一与归总,两积的和差,条件1条件2条件3,中间问题,答案,条件1条件2,中间问题,答案,？,15,应用跟随运算与问题解决自成体系相结合,回归应用与知识的天然联系凸显问题解决自身的内在结构 每个年级各有一个应用重点：
7、一年级：以加减应用为主二年级：以乘除应用为主三年级：以二步运算应用为主四年级：以三步运算应用为主五年级：以方程应用为主六年级：以比和比例应用为主,整数的应用,小数的应用,分数(%)的应用,三、内容结构,16,三套现行教材应用题各册的分布：,分布波动大、欠合理，原因何在？打破应用体系，应用跟随知识的弊端之一？,三、内容结构,17,三、内容结构,3.计数原理的应用,数数(共几个)问题主要有：加法原理的应用重叠原理的应用乘法原理的应用抽屉原理的应用（拓展内容）,基础内容,1.整数概念的应用 2.整数运算的应用,63642,2个小精灵，4个小朋友，按要求合拍照片。对小精灵来说：2个4对小朋友来说：4个
8、2,18,小学数学问题解决基本步骤：审题 分析 解答 检验 都是基于一般情况所作的划分，这几个环节(步骤)是典型的，但又不是刻板的。 某一步：可嵌入另一步中，使问题解决过程得到简缩；也可反复进行。,四、方法系统,1.基本步骤,阅读与理解,分析与解答,回顾与反思,19,小学数学问题解决基本步骤：审题 分析 解答 检验 都是基于一般情况所作的划分，这几个环节(步骤)是典型的，但又不是刻板的。 某一步：可嵌入另一步中，使问题解决过程得到简缩；也可反复进行。,四、方法系统,1.基本步骤,阅读与理解,分析与解答,回顾与反思,双数张需要探究吗？ 探究了3张，还要探究下去吗？ 5张3张2张 7张3张2张2张
9、 ,原来只要探究3张,20,矩形图,四、方法系统,2.常用方法,一般方法辅助方法特殊方法,图示法列表法,常用方法,综合法分析法,假设法倒推法枚举法,示意图其他图,线段图,树状图韦恩图,21,四、方法系统,3.常用方法的教学,(1)综合法（由因导果） 最自然的思考方法：无师自通 学生很容易体会从条件入手思考的必要性 进一步体会：,条件决定算法,梨树有多少棵？,果园里有18棵桃树， 。,梨树比桃树多5棵,4,2,梨树和桃树共35棵,？,22,2022/12/5,23,四、方法系统,3.常用方法的教学,(2)分析法（执果索因）,三上，让学生自己提出问题：男生有多少人？一共有多少人？女生人数是男生的几
10、倍？,8,12,问题决定算法,进一步：,最值问题,24,问题条件,四、方法系统,连乘问题游儿童乐园每人5元,每组6人,3组.先求每组几元：56先求一共几人：63先求？ 53,每行10人 每个方阵8行 3个方阵,108 先求一个方阵有几人,83 先求3个方阵有几行 一整列有几人,先求3个方阵一行有几人 103,的经典例题,问题条件：,3.常用方法的教学,25,四、方法系统,分析与综合的灵活运用,小松鼠装松果，42个装一罐，已经装好273罐，还剩798个没有装。一共可以装多少罐？,一共装多少罐？,已经装好273罐 还可以装几罐,从问题入手想：,从条件入手想：,42273,42个装一罐 已经装好27
11、3罐,已经装了多少个,一共要装多少个,(42273798）,3.常用方法的教学,还剩798个没装,42个装一罐,还剩798个没装,42个装一罐,26,四、方法系统,分析法与综合法的编排建议：,自然引入,3.常用方法的教学,体会两种情况,条件决定算法问题决定算法,（看条件，想问题）（看问题，想条件）,综合灵活运用,条件、问题均可入手不同思路，不同算法(两步 三步),27,3.常用方法的教学,(3)图示法,建议增加：长方形图(矩形图),用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系),6,6,2,2,2 8 6,前有铺垫(渗透),32632060102201020200,28,3.常用方法的教学,(3)图
12、示法,建议增加：长方形图(矩形图),用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系),前有铺垫(渗透)中有突破(教学),原来面积,增加长,增加宽,原来面积,原来面积,增加长、宽,怎样增加长方形面积?,长方形操场, 原来长40米, 宽20米。扩建后, 长增加10米,宽增加8米。操场面积增加多少？,怎样计算增加面积?,29,3.常用方法的教学,(3)图示法,建议增加：长方形图(矩形图),用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系),前有铺垫(渗透)中有突破(教学),长方形操场, 原来长40米, 宽20米。扩建后, 长增加10米,宽增加8米。操场面积增加多少？,某音乐厅原来每排40座，有20排。扩建后每排增加1
13、0座，增加8排。扩建后增加多少座位？ 学校原计划买40只皮球，每只20元。实际多买10只，并且每只涨价8元。实际比计划多花多少元？ 某厂原计划每天生产40台机器人,生产20天。实际每天多生产10台，多生产8天。实际比计划多生产多少台？ ,两积的和差,扩建后增加到每排50,座，共28排。,50284020,30,3.常用方法的教学,(3)图示法,建议增加：长方形图(矩形图),用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系),前有铺垫(渗透)中有突破(教学)后有发展(灵活应用),长方形操场, 原来长40米, 宽20米。扩建后, 长增加10米,宽增加8米。操场面积增加多少？,小胖借来一本书,计划每天看12页
14、,实际每天多看了4页。结果比计划提前3天看完。计划多少天看完？ 1234312（天）,12,计划天数,4,3,123,总页数,实际天数,31,6 220,四、方法系统,3.常用方法的教学,(4)列表法,实践表明：学生大多不太喜欢列表教师感觉列表作用不大要不要填完？能不能跳跃？,220,322,4 424,3 526,8 016,7 118,3 526,假设,比较,调整,？,32,148,2948,348,4648,6348,8048,四、方法系统,3.常用方法的教学,(4)列表法,铅笔每支6元，橡皮每块4元。把48元用完，可以怎样买？,33,四、方法系统,3.常用方法的教学,(4)列表法,49
15、人出游,可租两种车。大车载客10人,每辆租金1000元；小车载客7人,每辆租金800元。怎样租车省钱？ 解：只租大车，491049，要415(辆) 100055000(元) 只租小车，49 77(辆) 80075600(元),(请找出两种方案),543210,二 2 54 5600 三 3 51 5400 四 5 55 6000 五 6 52 5800,34,豆 油 50 10 x 200,四、方法系统,3.常用方法的教学,(4)列表法,5,5,50千克豆可榨油10千克，照这样计算：榨200千克油需要多少千克豆？,豆 油50 10？ 200,20,20,货车从甲地开往乙地，6小时行330千米。
16、照这样速度，再行2小时到达。求两地间的路程。,6小时330千米2小时110千米,8小时440千米,35,四、方法系统,3.常用方法的教学,(5)假设法,假设某一量取一个值 假设某一种情况成立,采用假设法验证。假设赋值的实质：将代数运算转化为算术运算。,36,四、方法系统,3.常用方法的教学,假设：8只全是鸡，比较：调整：(换),少几只脚？,共几只脚？,2816,261610,一鸡换一兔,多几只脚？要换几只呢？,422,1025,假设全是鸡，就先求兔。,兔,(5)假设法,37,鸡兔共8只，鸡2只脚，兔4只脚，共26只脚 金鸡独立,双腿拱月, 鸡趴地，兔单腿立， 所以，兔有： 26285(只),2
17、,8,剩13只脚,剩 5只脚,古人的推算方法（折半法）,关于“鸡兔同笼”问题的探讨,38,假设全是鸡：(脚数头数2)(42) （ 2）(42)假设脚折半： 脚数2头数 2 ,加减消元,关于“鸡兔同笼”问题的探讨,从联系实际看：“鸡兔同笼”是无稽之谈！从智能培养看：它具有心智训练价值从数学学科看：各种推算方法的数学实质设鸡x只， 兔y只。,适可而止为好！,39,四、方法系统,3.常用方法的教学,(5)假设法,假设某一量取一个值 假设某一种情况成立 假设比较调整 假设推理肯定(否定),（鸡兔同笼问题）,（逻辑推理问题）,40,五、教学策略,1.结构化策略,以两个条件的两步运算问题为例,提出问题？,
18、求和、差、倍,选择一绿、一黄条件提出两步计算的问题：,男生比女生多几人？女生人数是男生的几倍？男女生共几人？女生人数是男生的几倍？ 男女生共几人？男生比女生多几人？,选择 还要交流吗？,选择三个问题解答。,可复制的设计,“跳一跳”,41,五、教学策略,2.直观化策略,3.变式呈现策略,1.结构化策略,4.方法诱导策略,5.分解训练策略,如：审题训练 列式训练 分析训练 画图训练 列表训练 检验训练 ,42,五、教学策略,5.分解训练策略,以审题训练为例,审题三问：什么事情？自行车比赛,比5天,今第2天,还有3天已知什么？5天、5段各多少千米，共多少千米要求什么？还要骑多少千米? 后3天还有多少千米?,16580.799.4483.439.598.8,43,谢 谢！欢迎提问 共同探讨,问 题 解 决 的 实 践 性 探 索,44,2022/12/5,45,
