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1、,5.1 微分方程的基本概念,Basic concept of differential equations,三、微分方程的解,一、问题的提出,二、微分方程的定义,微,积,分,电,子,教,案,引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。,解：,设所求曲线方程为：y = f(x),两边对x求积分：,即 y=x2+C,将x=1,y=2代入，得：2=1+C,即 C=1,故所求曲线为：y=x2+1,一、问题的提出,由题意得：,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。,2.1、微分方程,二、微分方程的定义,定义1 含有未知函数的导数(或微
2、分) 的方程。,如：,2.1、微分方程,二、微分方程的定义,未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程,未知函数是一元函数的微分方程常微分方程,定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。,二阶微分方程,n阶微分方程的一般形式为：,F(x，y，y，y，y(n)=0,一阶微分方程,二、微分方程的定义,2.2、微分方程的阶,二、微分方程的定义,2.3、微分方程的分类,分类1: 常微分方程, 偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3: 线性(未知函数及其导数都是一次) 非线性微分方程,分类4: 单个微分方程 与微分方程组.,定义3 若将
3、某函数及其导数代入微分方程, 可使方程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解,三、微分方程的解,3.1、微分方程的解,三、微分方程的解,例1 验证下列函数都是微分方程 y2y+y=0 的解.,解:,代入原方程, 是原方程的解.,代入原方程：, 是原方程的解.,三、微分方程的解,例1 验证下列函数都是微分方程 y 2y+y=0 的解.,解:,代入原方程：, 是原方程的解.,解的线性组合也是解,y=0也是解。,均为解，有何区别？, 通解：,微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。,3.2、通解与特解,三、微分方程的解,
4、特解：,确定了通解中任意常数的解。,例1中：,通解,特解,既非通解，也非特解，是个解。,奇解（但不是特解，不研究）,通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数, 通解：,微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。,3.2、通解与特解,三、微分方程的解, 特解：,确定了通解中任意常数的解。,特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解,称为定解条件，也称为初始条件,一般地，n阶微分方程就有n个定解条件,三、微分方程的解,求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。,微分方程,微
5、分方程的通解,定解条件,如引例,求解得：,微分方程的特解,三、微分方程的解,解的图像: 微分方程的积分曲线.,通解的图像: 积分曲线族.,3.3、微分方程解的几何意义,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.,解,例3 验证:函数 是微分方程 的解. 并求满足初始条件 的特解.,三、微分方程的解,所求特解为,练习：,为微分方程的特解.,三、微分方程的解,函数 是微分方程 的解吗？如是解，请问是什么解?,5.2 一阶微分方程,Basic concept of differential equations,三、
6、齐次方程,一、一阶微分方程的形式,四、一阶线性微分方程,微,积,分,电,子,教,案,二、可分离变量的微分方程,一般形式: F(x, y, y ) =0,正规型:,微分型: f(x,y)dx+g(x,y)dy=0,如：,下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。,一、一阶微分方程的形式,y= f( x, y ),形式：,即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边（或已分离开来）.,解法：直接积分。,例1、求通解：,解：两边积分,故原方程的通解为：,2.1、已分离变量的微分方程,二、可分离变量的微分
7、方程,例2 求通解：,解：两边积分得：,二、可分离变量的微分方程,故原方程的通解为：,结论1: 通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.,形式：,二、可分离变量的微分方程,2.2、可分离变量的微分方程,解法：先分离变量，再两边积分即可。,或,例3 解微分方程,解:先分离变量，,二、可分离变量的微分方程,再两边积分,故原方程的通解为,二、可分离变量的微分方程,若积分后出现对数,则可将任意常数写成 lnC 的形式,以利化简.,例3 解题过程可简化为：,先分离变量：,再两边积分,解：,二、可分离变量的微分方程,例4 求方程,满足初始条件y(1)=2的特解.,分离变量,积分得：,故通解为:,将x=1,
8、y=2代入通解,故所求特解为：,得：C=10,例5 已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,且该商品最大需求量为240,求需求函数Q=Q(p).,解: 依题意,得:,二、可分离变量的微分方程,整理得：,积分得:,将p=0,Q=240代入, 得: C=240,故求需求函数为：,例6 设f (x)在(-，+)连续,且满足:,求f(x).,注：积分方程求导后化为微分方程; 注意隐条件.,二、可分离变量的微分方程,解：原方程对x求导：,即：,分离变量得：,两端积分得：,由原方程可知：f (0)=0 代入通解 C =2,故,解：f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t
9、3f(x,y),故是齐次函数,且是3次齐次函数;,故是齐次函数,且是0次齐次函数.,三、齐次方程,3.1、齐次方程的引入,3.2、齐次方程及其解法,标准形式：,常见形式：如,三、齐次方程,化为标准形式,定义:微分方程 中,若为0次齐次函数, 则称该方程为齐次微分方程, 简称为齐次方程.,关于y的微分方程,代入原方程, 得：,关于u的微分方程,分离变量,得：,积分、整理得通解：,回代得：,是的解。,三、齐次方程,解：,分离变量得：,三、齐次方程,例1. 求微分方程 的通解.,代入原方程,得：,两边积分得：,故原方程的通解为：,例2. 求 的通解.,分离变量得：,三、齐次方程,解：原方程为：,代入原方程, 得：,积分得:,即通解为：,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,
