数学建模张引娣课件.ppt

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1、2022/12/5,数学建模,主讲人：张引娣,2022/12/5,1. 数学建模概论,随着科学技术的不断进步,数学模型和数学建模这些名词已经越来越多的出现在我们的日常工作和日常生活中.城市人口不断增加,道路显得越来越拥挤,你想改善城市的交通状况吗?那你首先必须建立一个交通流模型,研究一番城市交通的现状及可能有的发展趋势,从中找出改善交通拥挤现象的有效措施。我国人口多，你想研究一下怎样才能有效控制住我国人口的迅猛增长而又不会在其他方面造成过大的负面影响吗？那你要建立一个能较好反映真实情况的我国人口模型，对人口增长作出预测，并分析各种政策的实施究竟会对我国人口的增长以,2022/12/5,及对国民

2、经济各领域的发展产生怎样的影响，等等，等等。总之，社会，经济，生物，医学各学科，各行业时时刻刻都在提出各种各样的实际课题，要求我们运用数学知识去开展研究，找出解决问题的办法来。过去，由于计算技术的落后，一些学科中的实际问题很难用数学方法对它们进行定量化的研究，只能依据经验作一些宏观分析。然而，这种状况现在已经有了根本性的改变，计算机的出现和计算技术的发展为开展更深入的定量分析奠定了基础，于是，经济数学，生物（生态）数学，管理科学等新兴学科分支不断涌现，大大拓展了数,2022/12/5,学的应用范畴。 然而，科学研究与技术革新所面临的各种问题（即研究课题）一开始大都并非纯粹的数学问题。例如，我们

3、想知道我国的国宝熊猫最后究竟是否会绝种，是否有办法保护它们灭顶之灾？近年城市里的私家车发展得如此之快，如何改善路况，才能最大限度地避免交通阻塞？近几年来大中城市的房价增长过快，有什么办法能做到既有效改善群众的住房条件，又抑制炒房风越刮越烈？我国的城市化进程非常的快，如何解决好面临的各种新问题，使各行各业的发展呈现良性平衡？等等，等等。这些问题本身并非纯数学方面的问题但对它们的研,2022/12/5,究又离不开数学。如何应用数学知识去研究和解决这些实际问题呢，我们遇到的第一个问题就是如何建立恰当的数学模型来描述它们。建立数学模型其实就是架设连接实际课题与描述它们的相应数学问题之间的桥梁，只有建立

4、好相应的数学模型，才有可能运用数学方法来研究实际问题。从这一意义上讲，数学建模可以说是一切学科研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果。所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。,2022/12/5,1.1 数学模型与数学建模,客观实体是我们研究的对象，是科学研究的目标和原型。我们生活在千变万化的大自然中，时时刻刻会遇到各种各样的新情况，新问题。自然界中的一切事物都在按自身的规律在变化着，要适应自然，战胜自然，人们必须不断地去探索奥秘，努力去了解客观实体的本质属性。世界是变化的，万物之间存在千丝万缕的联系，其间必然存在着大量的数量关系。数学，特别是高等数学，正

5、是研究这种数量关系的学科，从而十分自然地成了各门学科研究和发展的重要工具。,2022/12/5,数学学科，从其诞生的第一天起，就一直和人们的生长、生活密切相关。数学的特点不仅在于其概念的抽象性和逻辑的严密性，也在于其应用的广泛性。牛顿为了研究引力现象及受迫运动创建了微积分，而微积分的创建又极大地强化了人们的研究手段，推动了科学技术的迅猛发展。所以，数学离不开科研、生产实际，科研、生产实际也同样离不开数学。 然而，数学并非简单的等同于科研、生产实际。这就产生了一个问题，如何运用数学工具去研究和解决实际问题呢？实际问题一般都是及其复杂的，人们不可能一丝不差地用数学将其复制出来。为了用数学来描述实,

6、2022/12/5,际问题，研究者必须从实际问题中抽象出它的本质属性，抓住主要因素，去除次要因素，经过必要的精练简化，建立起相应的“数学模型”。此后的进一步研究将建立在此数学模型之上，这样一来，一个实际问题就转变成了一个数学问题。假如这一数学问题的求解在数学上并无困难，我们就成功地（至少是在一定程度上）解决了实际问题；假如现有的数学知识尚无法解决这一数学问题，则对该实际问题的研究必然也会推动数学学科本身的发展（象牛顿创建微积分那样），自然科学的进步就是在这样一种滚动式的进程中实现的。,2022/12/5,如前所说，模型不是客观实体的复制或翻版，而是客观实体有关属性的（经必要简化的）模拟。研究结

7、果好不好在很大程度上取决于模型建立得好不好，因为你的研究结果其实是从对数学模型的研究中得出来的。那么，根据什么来评价模型的好坏呢？稍稍想一下你就会发现，评价的标准和你研究的目的有关。例如，陈列在橱窗中的飞机模型好不好应当看其外形究竟像不像真正的飞机，至于它是否真的会飞却无关紧要，我们把它陈列在那里的目的是让别人看的而不是去飞的；然而，要拿去参加航模比赛的飞机模型就全然不同了，如果飞行,2022/12/5,性能不佳，外形再像飞机，也不能算是一个好的模型。模型不一定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的某些基本属性的抽象。例如，一张地质图并不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符号、文字和数字来反映出该

8、地区的地质结构。数学模型也是一种模拟，它是用数学模型、数学式子程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，对它研究的结果或能解释某些客观现象，或能预测客观实体未来的发展规律，或能为控制某一些现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型的建立常常既需要人们对现实问题作深入,2022/12/5,细致的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种从实际课题中抽象，提炼出数学模型的过程被称为数学建模（Mathematical Modeling）.,2022/12/5,1.2 万有引力定律的发现,15世纪中叶，哥白尼（14731543）冲破宗教势力的束缚，向长期统治人们头脑的

9、地心说发起挑战，提出了震惊世界的日新说。按照哥白尼的理论，地球是在一个以太阳为圆心的圆形轨道上作均匀圆周运动的，地球绕太阳一周的时间为一年。哥白尼的理论是科学史上的一次重大革命。尽管由于受历史和科学水平的限制，其学说免不了也包含一些不尽如人意的缺陷，然而，其进步意义是勿庸置疑的。此后，丹麦著名的实验天文学家第谷（1546 1601）花了二十年时间观察记录下了当时已发现的五大行星的运动情况，留下了十分丰富而,2022/12/5,又精确的第一手资料。第谷的学生和助手开普勒(15711630)对这些资料进行了九年时间的分析计算后，发现第谷的观察结果与哥白尼的理论并不完全一致，例如，火星的运行周期就相

10、差了1/8度。开普勒深信第谷的观察结果是相当精确的不至于产生1/8度的误差这就使他对哥白尼的圆形轨道的假说产生了怀疑。他以观察数据为依据，归纳出了开普勒第一定律：行星沿椭圆形轨道绕太阳运行，太阳位于此椭圆的一个焦点上。开普勒在计算出当时已知的五大行星的运行周期T和轨道的长半轴a后，又发现了其他一些行星运行的规律(见表1)。,2022/12/5,表1 五大行星运行周期及轨道长半轴,2022/12/5,当时，对数表已经出现了，把上述数据的对数查出来，得到了一张新表(表2)。 表2,2022/12/5,由表2可以看出， 故 。据此，开普勒提出了至今仍十分著名的三大假设(即天文学中的Kepler三定律

11、)，这就是：（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。（2）行星在单位时间内扫过的面积不变。（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变(即比列系数是绝对常数)。,2022/12/5,牛顿认为，行星运动具有上述特征必定是某一力学规律的反映，他决心找出这一规律。根据开普勒定律(1)、(2)，行星运行的速度显然是变化的，但这种变化的速度在当时还无法计算。为了研究这种变化的速度，牛顿引入了全新的计算方法，从而创立了微积分。 下面我们来看看，如何根据开普勒三定律及牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律万有引力定律。,2022/12/5,例1 取直角坐标系

12、如图1.1所示，其中 指向行星所在位置， 垂直于 ， 和 均为单位矢量，用 表示由太阳指向行星的矢径，其长度记为 。设矢径 与 轴的夹角为 。,图1 行星的轨道,2022/12/5,1-1 模型假设,(I) 椭圆轨道方程式中， 分别表示椭圆的长、短半轴， 表示椭圆的离心率。(II) 单位时间内向径 扫过的面积一定，即,2022/12/5,(III) 行星运动周期 满足式中 为与行星无关的绝对常数。(IV) 行星运动时受力 ，满足式中， 是向径， 为行星质量， 为向心加速度。,2022/12/5,1-2 模型建立,首先引入基向量则向径 易导出 利用式(6)和式(7)及复合函数求导法则，不难推出行

13、星运动速度和加速度表达式为,2022/12/5,由假设(II)有于是有 从而式(8)的第二式可简化为 利用假设(I)中式(1)的第一式求导数，并将式(9)中 的表达式代入式中，得到,2022/12/5,再代入到式(10)，得到从而最终得出,上面得到的式子表明：行星受力 的方向与向径 相反，即沿太阳与行星连线反向指向太阳；力 的大小与行星质量 成正比，且与太阳和行星间的距离 的平方成反比。,2022/12/5,实际上，常数 和 与行星有关，而 是绝对常数，即它与行星无关。行星运行一个周期时，其向径扫过的面积恰为椭圆面积，即有 ，由此得出式中， 为万有引力常数， 为太阳质量。 从而由(11)式得到

14、人们所熟悉的形式：,2022/12/5,2 数学模型的一般步骤,了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。在所在假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构，即建立数学模型。模型求解。模型的分析与检验。,2022/12/5,综上所述，数学建模的过程可以概括为如图2所示的流程：,图2,2022/12/5,3 数学建模与能力的培养,数学建模实践的每一步都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要观察能力、分析能力和数据处理能力

15、等。在提出假设时，又需要想象力和归纳简化能力。实际问题经常是十分复杂的，既存在着必然的因果关系，也存在着某些偶然的因果关系，这就需要我们从错综复杂的现象中找出主要因素，略去次要因素，确定变量的取舍，并找出变量间的内在联系。假设条件通常是围绕着两类目的提出的，一类假设的提出是为了简化问题，突出主要因素；而另一类则是为了应用某些数学知,2022/12/5,识或其他学科的知识。但不管哪一类假设，都必须尽可能符合实际，既要做到不失真或少失真又要便于使用数学方法处理，两者应尽量兼顾。此外，我们的研究是前人工作的延续，在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能地先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作真正成为

16、别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，这就需要你具有很强的查阅文献资料的能力。你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，即“站在前人的肩膀上”，去探索新的奥秘。牛顿导出万有引力定律所用的假设主要有四条，即开普勒的三大定律和牛顿自己的第二定律，他所做的工作表明，如果这些假设是对的，如果,2022/12/5,推导过程也是正确的，那么万有引力定律也是对的。事实上，我们也可以由万有引力定律反过来推导出开普勒的三大定律。因而，万有引力定理被验证是正确的，也同样印证了开普勒三大定律和牛顿第二定律是正确的。总之，在提出假设时，你应当尽量引用已有的知识，以避免做重复性工作。建模求解阶段是考验你的数学功底和应变

17、能力的阶段，你的数学基础越好，应用就越自如。但学无止境，任何人都不是全才，想学好了再做，其结果必然是什么也不做，因此，我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用知识的本领。,2022/12/5,4. 初等模型,椅子的摆放问题 公平的席位分配问题,2022/12/5,例2. 椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。2-1 模型准备 仔细分析本问题的实质发现本问题与椅子脚，地面及椅子脚和地面是否接触有关。如果把椅子脚看成平面上的点，并引入椅子脚和地面距离的函数关系就可以将问题与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。,椅子的摆放问题,

18、2022/12/5,2-2 模型假设 为了讨论问题方便，对问题进行简化，先做出如下三个假设：（1）椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，且四脚连线是正方形(对椅子的假设)。（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间段(对地面的假设)。（3）椅子放在地面上至少有三只脚同时着地(对椅子和地面之间关系的假设)。,2022/12/5,2-3 模型构成 根据上述假设进行本问题的模型构成。用变量表示椅子的位置，引入平面坐标系如图3所示。图中为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标系选为椅子四只脚的对角线。,图3,2022/12/5,于是，由假设（2），椅子的移动位置可以由正方形沿坐

19、标原点旋转的角度 来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为 的函数。注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地的情况。本题引入两个函数即可描述椅子四个脚是否着地的情况。,2022/12/5,记函数 为椅子脚 与地面的垂直距离之和，函数 为椅子脚 与地面的垂直距离之和，则有 ，且它们都是 的连续函数。由假设（3），对任意的 ， ， 至少有一个为零，不妨设当 时， ，故问题可以归结为证明如下数学命题。数学命题 （问题的数学模型） 已知 都是 的非负连续函数，对任意的 ，有 ，且 。则存在 ，使得

20、,2022/12/5,2-4 模型求解 证明：将椅子旋转 ，对角线 与 互换， 故 变为 。 构造函数 ，则有 ，且 也是连续函数。显然， 在闭区间 连续。由介值定理，必存在 ，使 ，即存在 ，使得 。由于对任意的 ，有 ，特别有 ，于是至少一有一个为零，从而有,2022/12/5,-简评- 问题初看起来似乎与数学没有什么关系，不易用数学建模来解决；但通过如上处理把问题变为一个数学定理的证明，使其可以用数学建模来解决，从中可以看到数学建模的重要作用。本题给出的启示是：对于一些表面上与数学没有关系的实际问题也可以用数学建模的方法来解决，此类问题建模的着眼点是寻找、分析问题中出现的主要对象及其隐含

21、的数量关系，通过适当简化与假设将其变为数学问题。,2022/12/5,公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如人大代表或职工学生代表的名额分配、其他物质材料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即 某单位席位分配数=某单位人数比例 总席位 按上述公式进行分配，如果一些单位的席位分配数出现小数，则先按席位分配数的整数分配席位，余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次进行分配，这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：,2022/12/5,例3 某学院按有甲、乙、丙三个系并设2

22、0个学生代表席位，其最初学生人数及学生代表席位如表3所示： 表3 学生席位情况,2022/12/5,后来出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位有所变化，如表4： 表4 转系后学生席位情况,2022/12/5,由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而不能达成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。表5为重新按惯例分配席位的情况：表5 转系后学生席位情况,2022/12/5,这个分配结果导致丙系比增加席位前少一席位的情况，这让人觉得席位分配明显不公。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代

23、表席位分配中出现的不公平问题。,2022/12/5,3-1 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，具体如表6所示： 表6 单位A、B席位情况,2022/12/5,要满足公平，应该有但这一般不成立。注意到等式不成立时，有：若 ，则说明单位 “吃亏”(即对单位 不公平)若 ，则说明单位 “吃亏”(即对单位 不公平) 。因此，可以考虑用算式 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如某两个单位的人数和席位为 算得 另两个单位的人数和席位为 算得 。两种情况下都有 ，但显然第二种情况比第一种公平。,2022/12/5,下面采用相对标准对公式给予改进。定义席位分配的相对不

24、公平标准公式如下：若 ，定义为对单位 的相对不公平值。 若 ， 定义为对单位 的相对不公平值。,2022/12/5,由定义知，对某单位的不公平值越小，该单位在席位分配中越有利。因此，可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 下面讨论通过使用不公平值的大小来确定分配方案。,2022/12/5,设单位 的人数为 ，已经有席位数为 ，单位 的人数为 ，已经有的席位数为 。再增加一个席位，分别分配给单位 和单位 时，有如下不公平值,2022/12/5,用不公平值得公式来决定席位的分配。若有则增加的席位应该给 ，此时对不等式 进行简化，可以得出不等式引入公式于是知道增加的席位分配可以由 的

25、最大值决定，它可以推广到多个组的一般情况。用 的最大值决定席位分配的方法称为 值法。,2022/12/5,对多个组( 个组)的席位分配 值法可以描述为：(1) 先计算每个组的 值，即 (2) 求出其中最大的 值 (若有多个最大值任选其中一个即可)；(3) 将席位分配给最大值 对应的第 组。这种分配方法很容易编程处理。,2022/12/5,3-2 模型求解 先按应分配的整数部分分配，余下的部分按 值分配。本问题的整数名额共分配了19席，具体为 甲 10.815 乙 6.615 丙 3.570,2022/12/5,对第20席的分配，计算 值为因为 最大，所以第20席应该给甲系。对第21席的分配，计算 值为因为 最大，所以第21席应该给丙系。最后的席位分配为：甲11席，乙26席，丙4席。,2022/12/5,-简评- 若一开始就用 值分配，以 逐次增加一席，也可以得到同样的结果。本题给出的启示是：对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般规律，这也是科学研究的常用方法。请对一般情况进行编程。,2022/12/5,谢谢大家！,