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1、趣美体操 -方程思想的建模,方程这个名词,最早见于我国古代算书九章算术九章算术是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作书中收集了246个应用问题和其他问题的解法,分为九章,“方程”是其中的一章在这一章里的所谓“方程”,是指一次方程组例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组古代是将它用算筹布置起来解的,如图所示,图中各行由上而下列出的算筹表示x,y,z的系数与常数项我国古代数学家刘徽注释九章算术说,“程,课程也二物者二程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程”这里所谓“如物数程之”,是指有几个未知数就必须列出几个等式一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比
2、方阵,所以叫做方程 上述方程的概念,在世界上要数九章算术中的“方程”章最早出现其中解方程组的方法,不但是我国古代数学中的伟大成就,而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族,方程的由来,九章算术中的算筹图是竖排的，我们把它改为横排，如图、，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ，类似地，图所示的算筹图我们 怎么表示呢？,创设情境,学习目标,知识与技能：1.会根据具体问题中的数量关系，经过自主探索、互相交流，列出方程并求解，养成对所得结果进行检验的意识；
3、 2能熟练地列方程（组）解决简单的实际问题；过程与方法：经历探索、研究、交流的过程，将实际情景中的数量关系抽象出来转化为方程（组），体会数学转化的过程，提高用数学分析和解决问题的能力。情感、态度价值观：通过实际问题，感受方程的广泛应用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识。,一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志,两种设元方法(1)直接设元在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，再用这个未知数表示另一个未知量这种设未知数的方法
4、叫做直接设元法(2)间接设元如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法,三个注意列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相等,一、和、差、倍、分问题 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。,列方程解应用题的各种
5、类型,例、为了把2008年北京奥运会举办成一届绿色奥运会，实验中学和潞河中学的同学积极参加绿化工程的劳动。两校共绿化了4415平方米的土地，潞河中学绿化的面积比实验中学绿化面积的2倍少13平方米，这两所中学分别绿化了多少面积？,等量关系：潞河中学绿化的面积+实验中学绿化面=4415潞河中学绿化的面积=实验中学绿化面积X2-13,解：设潞河中学绿化的面积为X平方米，实验中学绿化面积为y平方米 x + y =4415 解得x =2739 x =2y -13 y=1376,二、等积变形问题 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。,平行四边形ABCD周长为
6、75厘米，以BC为底时高为14厘米；以CD为底时高是16厘米。求：平行四边形ABCD的面积? 解：设BC边长为x厘米，CD边长为y厘米。 14x = 16y 2x + 2y = 75所以x = 20厘米，y = 17.5厘米。所以平行四边形ABCD的面积 = 14x = 280平方厘米,典型题目,A,D,C,B,从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。 例题： 甲乙两书架上有书若干本，如果从乙架上取100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩余的书多5倍。如果从甲架上取50本书放到乙架上，两架的书就一样多，问原来每个书架上各有书多少本？,
7、三、调配问题,解:设甲有x本，则乙有y本 ，那么 5（y-100）=x+100 x-50=y+50 解得： x=260 y=160答：原来甲、乙书架上各有书260本、160本。,要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点,四、行程问题,1、相遇问题（相向而行）相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程同时走时两人所走的时间相等为等量关系。,2、追及问题（同向而行）追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是： 两人的路程差等于追及的路程 或以追及时间为等量关系,例题： 甲、乙二人相距6km，二
8、人同向而行，乙3小时可追上甲；相向而行，1小时相遇甲、乙的速度各是多少？分析：等量关系：同向时：乙走的路程-甲走的路程=6 相向时：乙走的路程+甲走的路程=6,乙,乙,6千米,追上,解：设乙每小时走x千米，甲每小时走y千米 3 x-3 y=6 X+y=6解得： x=4 y=2答：乙每小时走4千米，甲每小时走2千米,3、环形跑道上的相遇和追及问题环形跑道上的相遇和追及问题：（1）同地反向而行的等量关系是：两人走的路程和等于一圈的路程；（2）同地同向而行的等量关系是：两人所走的路程差等于一圈的路程。,例题： 一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，乙练习跑步，两人同时同地出发。若两人背向而行，则他
9、们经过1/2分钟首次相遇，若两人同向而行，则甲经过4/3分钟就追上乙一次，求两人的速度分别是多少？,解：设甲乙两人速度分别为x米/分、y米/分，根据题意，得：（ x+ y）=400 4/3（ x- y）=400解得， x=550 y=250答：甲乙两人速度分别为550米/分、250米/分。,4、航行问题航行问题：相对运动速度关系是：顺水速度静水中速度水流速度；逆水速度静水中速度水流速度。,轮船航向,船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流的速度,船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度,例.已知A、B两码头之间的距离为240km,一艏船航行于A、B两码头之间,顺流航行需4小时 ;逆流航行
10、时需6小时, 求船在静水中的速度及水流的速度.,解:设船在静水中的速度及水流的速度分别为xkm/h、ykm/h，根据题意，得,答：船在静水中的速度及水流的速度分别为50km/h、10km/h,五、工程问题 其基本数量关系：工作总量工作效率工作时间；合做的效率各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。例题：一项工程，甲单独做63天完成，由乙单独做28天完成，甲先做42天，乙做还要几天？,七、利润问题 其数量关系是：商品的利润商品售价商品的进价；商品利润率商品利润商品进价100，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。例题:某公司有
11、30000元购进两种货物，货物卖完，一种货物的利润是10%，另一种是11%，共获得利润3150元，问两种货物各进货多少元？解：设利润是10%的货物为x元，利润11%的货物进价为y元，根据题意，得 x+y =30000 10% x+ 11%y=3150 解得： x =285000 y=15000答：利润是10%的货物为285000元，利润11%的货物进价为15000元,八、银行储蓄问题 其数量关系是：利息本金利率存期；本息本金利息，利息税利息利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率月利率12日利率365。,例：李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得
12、税后可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率的和为3.24，问这两种储蓄的年利率各是几分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额20）,解:设这两种储蓄的年利率分别是x、y，根据题意得,答:这两种储蓄的年利蓄分别为2.25%、0.09%,九、数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是：抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。,一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位
13、数。解：设个位数字为x，十位数字为y则 x+y=7 10y+x+45=10 x+y解得 x=6 y=1,十、年龄问题 年龄问题其基本数量关系： 大小两个年龄差不会变。这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。,甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”问甲、乙现在各多少岁？,从问题情境可以知知道甲的年龄大于乙的年龄,解：设甲、乙现在的年龄分别是x、y岁根据题意，得,答：甲、乙现在的年龄分别是42、23岁,x-y,X+（x-y）,61,Y-（x-y）,4,列二元一次方程组解应用题的一般步骤：,1、审题；,2、找出两
14、个等 量关系式；,3、设两个未知数并列出方程组；,5、检查并检验答案的正确合理性。,4、解方程组并 求解，得到答案,剖 析(1)一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一次方程组为好，要具体分析一般来说，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜(2)有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造
15、成解答不完整，犯以偏概全的错误；,列方程解应用题的基本步骤；,说说自己的收获与困惑；,你说我说,祝同学们学习进步,合作学习,如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个宽为40的大长方形，求每一块长方形地砖的面积,独立完成,如图，个一样大小的小长方形拼成一个大长方形，如果大长方形的周长为cm，那么小长方形的长和宽分别是多少？,做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张正方形纸板？做一个横式纸盒呢?,里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？,竖式纸盒展开图,横式纸盒展开图,用如图一,中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，,做成如图二,中竖式和横式的两种无盖纸
16、盒。现在仓库,分析：,图一,图二,竖式纸盒: 4张长方形纸板和1张正方形纸板,横式纸盒: 3张长方形纸板和2张正方形纸板,x,2y,4x,3y,扫墓回来：参观造纸盒厂,上题中如果改为库存正方形纸板500张，长方形纸板1001张，那么，能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后，恰好把库存纸板用完？,变式,竖式纸盒展开图,横式纸盒展开图,图一,图二,可列出方程组:,y不是自然数,不合题意.所以不可能做成若干只纸盒,恰好把库存的纸板用完.,将代入,得 2000-5y=1001 , 即 5y=999,x,2y,4x,3y,设竖式纸盒做x个, 横式纸盒做y个.,例1： 香蕉的售价为5元/千克,苹果的售价
17、为3元/千克,小华共买了9千克,付款33元.香蕉和苹果各买了多少千克？,设买香蕉x千克,买苹果y千克。,5,3,x,y,5x,3y,问题：,例1： 香蕉的售价为5元/千克,苹果的售价为3元/千克,小华共买了9千克,付款33元.香蕉和苹果各买了多少千克？,设买香蕉x千克,买苹果y千克。,5,3,x,y,5x,3y,问题：,例1： 香蕉的售价为5元/千克,苹果的售价为3元/千克,小华共买了9千克,付款33元.香蕉和苹果各买了多少千克？,设买香蕉x千克,买苹果y千克。,5,3,x,y,5x,3y,问题：,应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤:,理解问题 (审题,搞清已知和未知,分析数量关系) 制
18、订计划(考虑如何根据等量关系设元,列出方程组)。 执行计划（列出方程组并求解，得到答案）。回顾(检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否符合题意).,基础训练,1、小明有5元和2元的人民币共50张，合计180元，若设5元人民币有x张，2元人民币有y 张，则可列方程组 ，,2、两个数字，甲数比乙数的4倍少5，乙数比甲数的3倍多4，则这两个数为 ，,甲数为-1，乙数为1,练一练：甲、乙两人相距6千米，两人若同向同时而行，则甲3小时可追上乙；若同时相向而行，1小时相遇，求两人的速度?,甲,乙,甲,乙,6千米,追上,相遇,例2 小强和小明非常喜欢福娃，放学后,去邮局邮购福娃,在邮局里,小强和小明商
19、量如何购买,最后决定在A、B、C三款福娃纪念品中做选择,其中A款每个48元;B款每个78元;C款每个98元.,1.选择A和B；2.选择A和C；3.选择B和C.,选购福娃,问题一:若选择其中两款有几种选择方法?,问题二:若选择其中两款共5个,用了340元(邮费除外),你知道他们是如何选择的吗?,(1)选择A和B,设购买A款纪念品x个,则购买B款纪念品(5-x)个,故,(2)选择A和C,78x+48(5-x)=340,解得: x=,故不符合题意!,(3)选择B和C,设购买A款纪念品x个,则购买C款纪念品(5-x)个,故,48x+98(5-x)=340,解得: x=3,设购买B款纪念品x个,则购买C
20、款纪念品(5-x)个,故,78x+98(5-x)=340,解得: x=,故不符合题意!,解:,答:小强家购买A款纪念品3个,C款纪念品2个.,A款:3个,C款:5=2个,题后反思：1.分类讨论思想.2.实际问题必须要检验.,小明和小强查资料了解到,制作火娃欢欢分为制作头饰和娃娃两部分,某车间有28名工人,每人每天平均能生产头饰12个或娃娃16个.,问题一:应分配多少人生产头饰,多少人生产娃娃, 才能使当天生产的头饰和娃娃刚好配套?,x,y,12x,16y,解：,设制作头饰的有x人,制作娃娃的有y人.由题意可得:,解得 : x16(人),答:制作头饰的有16人 ,制作娃娃的有12人.,Y= 12
21、(人),制作福娃,12x=16y X+y=28,典例选讲,例3：北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台。已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示，单位：元/台有关部门计划用7600元运送这批仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需的仪器，而且运费正好够用。,x,y,6-x,8-y,例4. 甲,乙两种商品的单价之和为100元,随季节变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲,乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%,求甲,乙两种商品的原来单价?,设甲种商品的原来单价x元,乙种商品的原来单价y元.填表：,x,(
22、1- 10%)x,y,(1+ 5% )y,X+y,(1-10%)x+(1+5% )y,问题三,有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。 求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?,分析：要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨?,练一练：,1. 某市现有42万人口,计划一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个市一年后预计的城镇人口和农村人口是多少?,2. 甲,乙两个商店各进洗衣机若干台,若甲店拨给乙店12台,则两店的洗衣机一样多;若乙店拨给甲店12台,则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数
23、的5倍还多6台,求甲,乙两店各进洗衣机多少台?,3.有两堆小球,每堆小球数一样多,且都只有红,黄两种小球,若甲堆中红球数是乙堆中黄球数的,乙堆中红球数是甲堆中黄球数的,则乙堆中的红球数是甲堆中的红球数的多少倍?,例3、小林骑自行车从甲地到乙地，先以24千米/小时的速度下坡，后以18千米/小时的速度通过平路，共花时间55分钟，返回时他以16千米/小时的速度通过平路，后又以8千米/小时的速度上坡，共1.5小时，求甲、乙两地的距离。,24千米/小时,18千米/小时,55分钟,16千米/小时,8千米/小时,1.5小时,请你帮忙,清明，甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行，如果乙先走20千
24、米，那么甲用1小时 能追上乙，如果乙先走1小时，那么甲用15分钟就能追上乙。求甲、乙两人的速度分别为多少？,练一练：,1一批机器零件共350个，甲先做2天，乙加入合做，又经过2天，完成任务；如果乙先做2天，甲加入合做，需再经过3天完成任务问两人每天各做多少个零件？,练一练：,2A、B两地相距280千米，一轮船在A、B两地往返航行，顺流航行需14小时，逆流航行需20小时，求轮船在静水中的速度和水流速度？,顺流时：轮船的行驶速度静水中的船速水速；,逆流时：轮船的行驶速度静水中的船速水速；,小明和小强查资料了解到,制作火娃欢欢分为制作头饰和娃娃两部分,某车间有28名工人,每人每天平均能生产头饰12个或娃娃16个.,问题二:若现在第一天安排14名工人生产头饰, 14名工人生产娃娃,其余条件不变,问第二天应分配多少人生产头饰,多少人生产娃娃,才能使两天生产的总的娃娃与头饰配套?,1412,1416,x,28-x,12x,16(28-x),题后反思:1.利用图表分析简洁明了.,制作福娃,可列方程：1412+12x=1416+16(28-x）,2.配套问题抓住相应的比例关系列方程.,
