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1、12/5/2022,1,教材 应用数理统计基础（第三版） 庄楚强 何春雄 编著 华南理工大学出版社参考书 数理统计学教程 陈希孺 倪国熙 编著 中国科学技术大学出版社 主讲人：张作泉 教授 博导 （北京交通大学理学院） ,12/5/2022,2,本课程ABC,12/5/2022,3,国内有关经典著作,国外有关经典著作,12/5/2022,4,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合
2、理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,12/5/2022,5,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,策和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,12/5/2022,6,但是
3、当时的统计, 只是对有关事实的简单记录和整理,从历史的典籍中人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载, 说明人们很早就开始了统计的工作.,到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展, 才真正诞生了数理统计学这门学科.,而没有在一定理论的指导下,作出超越这些数据范围之外的推断.,数理统计的特点是应用面广, 分支多. 社会的发展正在不断地向数理统计提出新的问题.,数理统计不同于一般的资料统计, 它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析.,12/5/2022,7,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科,但在研究问题的方
4、法上有很大区别：,概率论 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;,数理统计 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性.,数理统计的核心问题由样本推断总体,12/5/2022,8,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,12/5/2022,9,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7. 研究化学反应的时变率，要以
5、马尔,序列分析方法非常有用;,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,12/5/2022,10,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问,题要用到多变量非线性生灭过程,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,12/5/2022,11,第一章 概率论复习与补充,概率空间随机变量及其分布随机变量的函数及其分布随机变
6、量的数字特征大数定律与中心极限定理特征函数,12/5/2022,12,1.1 概率空间,一、样本空间与事件域,基本事件 ：,设 是一个随机试验,的每一个不能再分或无需再分的可能结果,样本空间 ：,全体基本事件所组成的集合,12/5/2022,13,定义1：,设 是样本空间， 是由 的一些子集为元素所组成的集合，如果满足下列条件,(1),(2),(3),则称 为事件域， 中的元素称为事件， 称为必然事件,12/5/2022,14,二、概率的定义与性质,定义2：,设 是随机试验的基本空间， 为随机事件， 为定义在事件域 上的实函数，若满足,（1）有界性：,（2）正则性或规范性：,（3）可列可加性：
7、,对可列多个事件 , 如,果 ，则有,则称函数 为事件 的概率。,12/5/2022,15,0,1,概率空间：,概率的性质：,有限可加性,12/5/2022,16,加法公式的推广,12/5/2022,17,三、条件概率与事件的独立性,1. 条件概率,定义3：,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,称为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。,12/5/2022,18,三个重要的公式,两个事件的乘法公式,（一）乘法公式,多个事件的乘法公式,则有,12/5/2022,19,（二）全概率公式,设随机事件,满足：,12/5/2022,20,（三）Bayes公式,设随
8、机事件,满足,则,返回主目录,12/5/2022,21,2.事件的独立性,1. 两事件独立的定义,设 A、B 是两个随机事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,返回主目录,12/5/2022,22,2. n个事件的相互独立性,返回主目录,12/5/2022,23,独立随机事件的性质：,12/5/2022,24,12/5/2022,25,1.2 随机变量及其分布,一、一维随机变量的分布,定义1：,设 是一个概率空间，而 是定义在基本空间 上的单值实函数，若对任一实数 ,基本事件 的集合 都是一随机事件, 即 ，则称 为一个随机变量。,12/5/2022,26,1.分布函数及其性质：,
9、定义2：,设 是一个随机变量， 是任意实数，,称为 的分布函数,返回主目录,函数,分 布 函 数 的 性 质,1. 是一个不减的函数 ,2.,12/5/2022,27,3.,这三条性质不但是分布函数的必要条件,还可以证明，它们一起构成函数 成为某一随机变量的分布函数的充要条件。,2.离散型随机变量及其分布列,若随机变量的所有可能取的值是有限多个或可列多个,则称该随机变量为离散型随机变量, 它的概率分布规律通常用分布列表示.,设离散型随机变量 的所有可能取值为 并且,12/5/2022,28,分布列的性质为:,分布函数为,12/5/2022,29,3.连续型随机变量的概念与性质,如果对于随机变量
10、X 的分布函数 ，存在非负实函数 ，使得对于任意 实数 ，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 称为X 的概率密度函数,简称密度函数.,连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定,定义3:,12/5/2022,30,密度函数的性质:,12/5/2022,31,4. 一些常用的概率分布,离散型,12/5/2022,32,12/5/2022,33,连续型:,12/5/2022,34,12/5/2022,35,二、多维随机变量及其分布,1. n维随机变量及其分布,设 都是定义在同一概率空间 上的n个随机变量,把 看成一个整体,称为一个n维随机变量(随机向量),记为,定义4:,设 是n维随机变量,
11、是任意n个实数,则n元函数,称为 的n维联合分布函数.,12/5/2022,36,定义5:,若 的n维联合分布函数可以表示为,其中 是非负可积函数,则称 为n维连续型随机变量, 称为n维联合概率密度函数.,2.二维分布函数及其性质,定义6:,12/5/2022,37,性质:,单调性：F(x , y )是变量x,y的不减函数，即 当 x1 x2时， 当 y1 y2时，,（1）,（2）,对于任意固定的 Y , 对于任意固定的 X ,且,有界性：,12/5/2022,38,（3）右连续性：,对每个变量都是右连续的，即,（4）,非负性：,这四个条件一起构成二元函数 为二维随机变量的分布函数的充分必要条
12、件。,12/5/2022,39,3.二维概率函数及其性质,12/5/2022,40,性质:,定义7:,对于二维随机变量 ( X,Y ) 的分布函数 如果存在非负实函数 使得对于任意的实数 有：,则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,12/5/2022,41,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：,返回主目录,性质:,12/5/2022,42,4.边缘分布,若 是二维随机变量 的分布函数，,分别称为 关于 的边缘分布函数。,（1）离散型,设 为二维离散型随机变量，
13、联合分布律为,则,12/5/2022,43,分别称为二维离散型随机变量 关于 的边缘分布律。,（2）连续型,设 为二维连续型随机变量，联合密度函数为,则,分别称为二维连续型随机变量 关于 的边缘分布律。,注：联合分布唯一的确定边缘分布，但边缘分布一般 不能确定联合分布。,12/5/2022,44,5.随机变量的独立性,定义8：,设 是二维随机变量，若对任意实数 有,则称随机变量 相互独立，简称独立。,若 是二维离散型随机变量，则 相互独,立的充分必要条件为,若 是二维连续型随机变量，则 相互独,立的充分必要条件为,12/5/2022,45,定义9：,设 是n维随机变量，若对任意实数 有,则称随
14、机变量 相互独立,对于定义在同一概率空间上的随机变量序列,如果其中任何有限个随机变量都是独立的，则称,这个随机变量序列独立。,注：,若 独立，则其中任意m个随机变量也独立。,12/5/2022,46,6.条件分布,定义10：,设 是二维离散型随机变量，对固定 ，若 ，则称,为在条件 下 的条件分布律，称,为在条件 下 的条件分布函数，记为,定义11：,设 是二维连续型随机变量，其联合概,率密度 ，且,则称,为在条件 下 的条件分布函数，记为,12/5/2022,47,称,为在条件 下 的条件密度函数。,12/5/2022,48,1.3 随机变量的函数及其分布,一、一维随机变量的函数及其分布,1.离散型,12/5/2022,49,12/5/2022,50,2.连续型,(1),则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 ，其概率密度为,12/5/2022,51,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即,(2),若 是分段严格单调、可导函数，即存在有限个或可列个区间,使得在 上 单调增或减， 且将此,区间内函数 的反函数记为,相应,其中,12/5/2022,52,二、二维随机变量的函数及其分布,1. 离散型,12/5/2022,53,2. 连续型,12/5/2022,54,四、随机变量函数的独立性,定义1：,则称这k个随机向量独立。,12/5/2022,55,(2),(1),
