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1、7 多目标决策的基本概念,7.1 多目标决策及其特点7.2 多目标决策与多目标评价7.3 多目标决策问题的要素7.4 多目标决策问题的符号表示7.5 非劣解与最佳调和解,7.1 多目标决策及其特点,多目标决策例子: 在现实生活和工作中遇到的问题常常会有多个目标。1. 综合利用水利工程的建设，通常要在适当地点修建一个水坝，并具有发电、防洪。航运等功能。同时，工程建设也要大量投资、会有淹没损失、需要安置移民；在选择水库库容(即确定坝高)的时候，就应综合考察发电、防洪、淹没(移民)、投资等多个目标。2. 在若干候选人中选择一位担任某个职务时，年龄和健康状况、工作作风、品德、才能等都是重要的评价因素。
2、,3. 还有在某地区现有的若干所学校中扩建其中的一所、学生毕业后的择业；4. 即使是购物，比如买衣服，总希望价廉、物美(尺寸合适、款式新颖、颜色中意、面料结实、加工质量高)等等。,例子: 买车,单目标决策1(价格): 价格(C)舒适(V)舒适(T)舒适(C),多目标决策问题的特点,决策问题的目标多于一个。多目标决策问题的目标间不可公度 (non-commensurable)，即各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因而难以进行比较。例如，水利工程建设问题中的发电这一目标可以用年发电量（亿度/年）或装机容量(万千瓦)来描述，而防洪效益只能用下游免遭洪涝灾害的面积（亩）来表征，淹没损失用水库建成后淹
3、没的耕地和山林面积和淹没地区需要移民的数量（人）来说明，投资则应该用货币（万元）表示。,多目标决策问题的特点,各目标间的矛盾性。如果多目标决策问题中存在某个备选方案使所有目标都达到最优，即存在最优解，那么目标间的不可公度性倒也不成问题了，只是这种情况很少出现，绝大部分多目标决策问题的各个备选方案在各目标之间存在某种矛盾，即如果采用一种方案去改进某一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。 例如，水利工程建设问题，想要提高发电和防洪效益，就要提高水头，增加大坝高度，但是同时也需要增加投资，加大淹没损失和移民数量。,由于多目标决策问题多个目标之间的矛盾性和不可公度性，因此不能用求解单目标决策问题的方
4、法求解多目标决策问题。,买车问题的决策目标和属性,Max (satisfaction car to buy),Min(油耗),Min (价格),Max (舒适度),40, 15, 25, 35,25, 18, 10, 15,10, 3, 6, 8,总目标,分目标,属性值,术语1：,Objectives （目标）:An objective has been defined by Keeney and Raiffa as an indication of the preferred direction of movement. Thus, when stating objectives, we u
5、se terms like minimize or maximize. Typical objectives might be to minimize costs or maximize market share.,术语2：,Attributes（属性）An attribute is used to measure performance in relation to an objective.For example, if we have the objective maximize the exposure of a television advertisement we may use
6、the attribute number of people surveyed who recall seeing the advertisement in order to measure the degree to which the objective was achieved.Sometimes we may have to use an attribute which is not directly related to the objective. Such an attribute is referred to as a proxy attribute. For example,
7、 a company may use the proxy attribute staff turnover to measure how well they are achieving their objective of maximizing job satisfaction for their staff.,多目标决策的目标树,First level objective,The highest level of this structure generally represents the broad overall objectives that are instrumental in
8、initiating the multiple objective decision problem in the first place. These objectives are, however, often vaguely stated and, hence, unoperational.,Second level objectives,As we go down the hierarchical level, objectives at the lower level are more specific and more operational than those in the h
9、igher level.They are perceived as means to achieving higher ends represented by objectives in the higher level. Thus objectives at the lowest level of the hierarchy are “most specific” and “most operational”.,Attributes for objectives,An objective is operational is there is a practical way to assess
10、 the level of achieving such an objective.To facilitate this practical method, a set of attributes is assigned to each objective in the lowest level. An attribute is a measurable quantity whose value reflects the degree of achievement for a particular objective.,多目标决策问题的分类,最常用的分类法是按备选方案的数量来划分。1. 多属性
11、决策问题 （multi-attribute decision making problems） 这一类决策问题中的决策变量是离散型的，其中的备选方案数量为有限个，因此，有些文献也称之为有限方案多目标决策问题。这一类问题求解的核心是对各备选方案进行评价后排定各方案的优劣次序，再从中择优。,2. 多目标决策问题（multi-objective decision making problems） 这一类决策问题中的决策变量是连续型的，即备选方案数有无限多个，因此，有些文献也称之为无限方案多目标决策问题。求解这类问题的关键是向量优化，也即数学规划问题。,多目标决策术语,(1)属性(attribute)
12、 备选方案的特征、品质或性能参数。 (2)目标(objective) 它是决策人所感觉到的比现状更佳的客观存在，用来表示决策人的愿望或决策人所希望达到的、努力的方向。 (3)目的(goal) 是在特定时间、空间状态下，决策人所期望的事情。目标给出预期方向，目的给出希望达到的水平或具体数值。 (4)准则(criterion) 是判断的标准或度量事物价值的原则及检验事物合意性的规则，它兼指属性及目标。,7.2 多目标决策与多目标评价,1. 多目标决策的求解过程2. 多目标评价,1. 多目标决策的求解过程,2. 多目标评价,评价是多目标决策过程中的重要步骤，或者说是关键性环节，评价的结果用作最终决策
13、的依据。有时候，评价可以作为独立的活动存在，与决策不发生直接的关联。,评价/评估的分类,一类是对现存的已有系统或被评对象进行的，是根据一定的标准去测量和判定被评对象的性能和质量。这种评价的出发点是：存在有效的标难，可以根据这一标难，收集系统的有关资料，确定系统实际存在的性能和质量状况；可以将系统实际的性能和质量与某个规定的标难相比较，判断系统性能是否合格或优劣.,另一类评价是针对待建系统的评价，通常是对某个工程项目或拟开发系统的若干个不同的设计方案进行的分析和评价，上图所示典型的多目标决策的求解步骤更切合这一类评价问题。,评价的基本过程包括：,确定评价标准； 收集相关资料； 对所收集的信息进行
14、分析； 用适当的方法形成评价结果。,(1) 评价的原则,一般来说评价是为了更好地决策，评价的结果直接影响决策的正确性，因此组织和实施评价时应该遵循如下基本原则： 科学性； 客观性； 可比性； 有效性； 动态性。,(2) 评价的实施,从理论上讲，评价应该分两个阶段进行。首先要搞清已有系统的实际性能和质量状况或待建系统可达到的性能和质量状况，其次是把这些性能和质量状况与规定的标准相对照（比较），对系统的性能和质量作出判断。 对一个具体的系统进行评价，虽然从概念上看很简单，但实施起来却常常十分复杂。比如如何规定评价的标准等。,(3) 价值判断,在多目标决策过程中所涉及的价值元素和需要进行的价值判断主
15、要有： 1）在构造问题的时候，决策人的需要、企图等主观因素对所辩识问题的界限和决策问题环境、对确定决策问题的目标及相应属性有着重要影响。 2）在系统建模步，选择决策模型的形式、确定模型的关键变量也不可避免地涉及决策人的价值判断。 3）在进行分析评价时，要选择适当的决策规则，并由决策分析人员根据决策人的偏好结构即价值观来进行分析和评价。,(3) 价值判断,在整个多目标评价和多目标决策问题的求解过程中，决策人的价值判断始终在起作用，而决策人的偏好结构对最终结果的影响最为关键。 许多学科的研究人员对决策过程中的价值判断有着浓厚兴趣，但是他们的侧重点各不相同。例如，实验心理学家与行为科学家关心进行价值
16、判断时决策人的心理状态，而管理科学与运筹学家关心决策人作判断的指导原则。,7.3 多目标决策问题的要素,任何一个多目标决策问题都包含五个要素 :决策单元 (Decision-making unit)目标集 (Set of objectives)或称指标体系属性集 (Set of attributes)决策形势 (Decision situation)决策规则 (Decision rule),1. 决策单元和决策人,Churchman(1968)指出，决策人是有能力改变系统的人，这里的能力指进行这种变化的责任与权力。Chankong (1983) 认为决策人是某个人或由一些个人组成的群体，他们直
17、接或间接地提供最终的价值判断，据此可以排定各备选方案的优劣。决策单元则是由决策人、分析人员和作为信息处理器的人机系统构成。决策单元的功能是：接受输入信息，产生内部信息，形成系统知识，提供价值判断，作出决定。,2. 目标集及其递阶结构,为了清楚地阐明目标，可以将目标表示成层次结构：最高层目标是促使人们研究该问题的原动力，但是它过于笼统，不便运算，需分解为具体而便于运算的下层目标。,例:某流域水资源项目的目标的层次结构图,3. 属性集和代用属性,目标可以运算是指有办法衡量这一目标被达到的程度，而属性就是对基本目标达到程度的直接度量，也就是说对每个最下层目标要用一个或几个属性来描述目标的达到程度。在
18、上图中第三层的矩形框表示最底层目标，下面的椭圆形中所标的是属性。当目标无法用属性值直接度量时，用以衡量目标达到程度的间接量称为代用属性(Proxy attribute)。例如生态保护，可以用野生动、植物品种数量、鱼类的品种数量的增减，洄游鱼类的通过量的变化等属性间接衡量生态保护的效果，这些属性就是代用属性。,属性应满足的要求：,在为目标指定一个或几个属性时，这些属性应满足如下要求： (1)可理解性，即属性要能充分说明目标满足的程度； (2)可测性，指给定方案的属性在实际上可以用加有一定单位的数值来表示。,属性集的要求是:,对描述整个多目标决策问题的属性集的要求是：1）属性集应该是完全的，它反映
19、了决策问题的所有重要方面；2）它应该是可运算的，能有效地用于进一步的分析；3）它应该是可分解的，即属性集可以分成几部分，使下一步的分析评价简化；4）它应该是非冗余的，即问题没有那个方面被重复考虑；5）它应该是最小的，也就是说对同一多目标问题，找不到另一个完全的属性集比它有更少数目的元素。,4. 决策形势,一个多目标决策问题的基础是决策形势(或称决策情况)，它说明决策问题的结构和决策环境。为了说明决策形势，必须清楚地识别决策问题的边界和基本的组成，尤其是要详细说明决策问题所需的输入的类型和数量，以及其中哪些是可获得的；说明决策变量集和属性集以及它们的测量标度，决策变量之间、决策变量与属性之间的因
20、果关系；详细说明方案集和决策环境的状态。,5. 决策规则,在作决策时决策人力图选择“最好的”可行方案，这就需要对方案根据其所有属性值排列优劣次序(或分挡定级)。而对方案排序或分档定级的依据称作决策规则。决策规则可分为两大类。 1) 最优化（Optimizing)规则，它能把方案集中所有备选方案排成完全序；而根据决策规则所蕴涵的某种准则，在完全序中总存在一个最好的方案。 2) 满意（Satisfying）规则，把方案集划分成容易处理的几个有序子集，比如可接受与不可接受两个子集或者好、可接受、不可接受三个子集；根据这种规则，不同子集里的两个方案的优劣是显而易见的，同一子集中的方案无法或难以分辩优劣
21、。,7.4 多目标决策问题的符号表示,多目标决策问题的输入包括启动信号，它告诉决策人需要制订决策，还包括完整地描述决策形势所需的数据。图为典型多目标决策问题的简要框图。,7.4 多目标决策问题的符号表示,从根本上说，要说明决策形势需要详细说明下列内容： 一、方案集X，它是N维决策变量x的集合，说明了决策变量x的值也就完整地说明了方案； 二、目标函数集1(x)，2(x),n(x)，用来计算给定方案x的属性值1 ，2 ，n ； 三、对决策环境的说明，即说明决策问题是确定型的还是风险型的。,1. 风险型多属性决策问题,多属性决策问题即决策变量为离散型的多目标决策问题，其备选方案数有限。 决策单元仅包
22、含决策人； 属性集F=1,2,n，或者用符号Y=y1,y2,yn，没有代理属性； 决策形势仅包括分析评价步，方案集X=x1,x2,xm，也可以简记为X=1,2,m；决策的自然状态不确定但是各种状态的概率分布已知，对于每一种给定的自然状态，可以列表给出各方案的属性值；,1. 风险型多属性决策问题,决策规则可以是：若存在多属性效用函数，则选择期望效用最大的方案；若难以或无法获得决策人的多属性效用函数，应选用其他适当的方法求解。,2. 确定性情况下采用满意规则求解多属性决策问题,这一类决策问题的决策单元、决策形势和属性集与第一类问题相同，只是自然状态是确定性的。求解这一类决策问题的决策规则可以是：选
23、择方案x使属性1(x)，2(x),n(x) 分别大于或等于给定值10，20,n0；也可以是选择方案x使属性1为最大，其他属性2(x),n(x) 分别大于或等于给定值 20,n0 。这等价于求解: 受约束于： j(x) j0 ， j=1,2,n,3. 具有最优化决策规则的连续型多目标决策问题,连续型决策问题的可行方案集中备选方案有无限个。 决策单元包括决策人，若问题较为复杂，还包括分析人员和计算机； 属性集F=1 ，2 , n ，没有代理属性； 决策形势包括建模和分析评价，可行方案集为 : X=x|gi(x) 0,i=1,2,m,xRN 其中，x为N维欧几里德空间中的向量，gi(x) 是实值函数
24、（i=1,2,m）；对给定的x，可以用实值函数j(x)计算属性值j，j=1,2,n；在建模阶段应确定j、gj的形式；这一类问题中的自然状态是确定性的。 决策规则可以是使每个属性值j（j=1,2,n）极小化（或极大化），即求解:,两类多目标决策问题的比较,上面讨论的决策变量分别为离散型和连续型的两类多目标决策问题主要特点与区别可简单地归纳如表。,7.5 非劣解与最佳调和解,1.非劣解 求解多目标决策问题经常要求解下式所示多目标规划即向量优化问题： ，其中，opt可能是极小化也可能是极大化。 如果求极大值且在方案集X中存在某个方案x使各目标 fj(x)均达到极大（j=1,2,n），这个方案就是最优
25、解。但是向量优化问题通常不存在最优解。,1.非劣解,设两个目标的决策问题，目标函数f1和f2都是越大越优，可行解集X所对应的目标空间的象Y，如下图所示。图中Y的最高点为A，最右侧的点是B，则此问题没有最优解，因为虽然A点的f2值最大，但f1的值小于Y中在过A且与纵坐标平行直线右侧的所有点，同样B点f1的值虽然最大但是f2的值并不大。,在这个问题中显然不存在最优解，而是有一集非劣解(Non-inferior solution)。Y的一部分边界即曲线AB就是非劣前沿，可行域X中与之对应的部分是非劣解集。,1.非劣解,非劣解又称非控解（non-dominance solution）、有效解(effi
26、cient solution)、帕列托最优解(Pareto-optimal solution)、锥最优解(cone-optimal solution)。定义7.1 非劣解 f(x)为多目标决策问题向量目标函数，其分量fj(x), j=1,2,n均越大越优，对x*X，若在X中不存在x使fj(x)fj(x*)，j=1,2,n，且至少对一个j严格不等式成立，则称x*为向量优化问题的非劣解. 用文字表述：若方案A是非劣解，则在可行解集中我们再也找不到另一方案B，它的各目标函数值(或属性值)都不劣于方案A的相应目标值，而且B至少有一个目标比方案A优。,定义7.2 锥最优解,设多目标决策问题的可行解集X在
27、目标空间的象为Y，yf(x)，xh(y)，若: Y(y*D(y*) y* 其中，D(y*)d| dRN, diyiyi*0是以y*为顶点的非负锥，则x*h(y *)是锥最优解。,定义7.2 锥最优解,由非劣解的定义可知，图7.5中不在边界上的点都是劣点，因为以这一点为顶点的非负锥与Y的交集中的点除顶点本身外都优于该点。（换言之，非劣解只能在边界上取得）多目标决策问题如果没有最优解，就一定有一个以上非劣解。,2.Kuhn-Tucker条件,1) 纯量优化问题的Kuhn-Tucker条件 对纯量优化问题： max f (x) 受约束于：,满足约束条件的的x集合X称为可行域，即可以表示为 xX 。令
28、x*是上面所示问题的局部极大解，且x*为正则点，则存在向量，它的各分量i0，i1,2,m，它使,1) 纯量优化问题的Kuhn-Tucker条件, (7.7) (7.8) (7.9) 式(7.7)(7.9)统称为Kuhn-Tucker条件，式(7.9)、(7.7)和(7.8)分别称为Kuhn-Tucker第一、第二和第三条件，它们是纯量优化问题最优解x*的必要条件。若f(x)是凹函数，X是凸集，则Kuhn-Tucker条件也是纯量优化问题最优解x*的充分条件。,2) 向量优化问题的Kuhn-Tucker条件,对向量优化问题 受约束于：,2) 向量优化问题的Kuhn-Tucker条件,若满足约束条件的非劣解是正则点，则存在向量，（它的各分量i0，i=1,m）和向量，它的各分量j0 ，j=1,n，它使,向量优化问题的非劣解的Kuhn-Tucker条件与纯量优化问题的最优解的Kuhn-Tucker条件之间的区别仅仅在于式(7.14)与式(7.8)，即用个目标函数的梯度的线性组合取代纯量目标函数的梯度。,4.最佳调和解,根据决策人的偏好结构，从可行域或非劣解集中选出的决策人最满意的解叫最佳调和解（Best compromise solution），记作xB。也有文献称之为选好解、偏爱解或偏好解。,
