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1、28.1.2-2,圆的对称性,淅川县第二初级中学 李朝林,你能破镜重圆吗？,O,圆除了是旋转对称图形外，还是轴对称图形,提问：圆是什么对称图形？,O,A,C,B,N,M,D,圆是轴对称图形，,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。,O,A,C,B,N,M,D,或： 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。,M,O,A,C,B,N,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心O MNAB,AC=BCAM=BMAN=BN,垂径定理：,.,.,.,A,A,A,B,B,B,C,C,C,D,D,D,O,O,O,E,E,E,下列图形中,AE=BE吗?为
2、什么?,如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？,直线MN过圆心O MNAB,垂径定理：,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,探索一：,？,(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,推论,O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。,推论 (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,C,D,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC,探索二：,？,推论 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N
3、,探索三：,？,推论： (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,推论 (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,垂径定理及其推论的实质是把(1)直线MN过圆心; (2)直线MN垂直AB; (3)直线MN平分AB; (4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB 中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个 结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作 进一步的推导,同学们课下不妨试一试.,例1
4、 如图，在O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,C,变式三：若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？,变式一：在O中，直径为10cm，弦AB 的长为8cm，求圆心O到AB的距离。,变式二：在O中，直径为10cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求弦AB的长。,C,D,A,B,E,例2：平分已知弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,C,D,A,B,E,F,G,变式一： 求弧AB的四等分点。,m,n,C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时
5、一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直 平分线EFGH,C,A,B,E,变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,1、 已知：AB、CD是O的两条平行弦， MN是AB的垂直平分线。 求证：MN垂直平分CD。,N,B,圆内平行弦的垂直平分线是互相重合的。,试一试你的能力,M,O,B,N,C,D,证明：, MN是A
6、B的垂直平分线, MN过圆心是直径,MNCD, MN平分CD,A,ABCD，MNAB,MN垂直平分CD,2、判断下列语句是否正确 垂直于弦的直径平分这条弦 （ ） 垂直于弦的直线必平分弦对的两条弧（ ） 平分弦的直径垂直于这条弦（ ） 弦的垂直平分线是圆的直径（ ） 平分弧的直径必平分弧对的弦（ ）,课堂小结： 本节课探索发现了垂径定理的推论,并且运用推论等分弧。 要分清垂径定理的推论的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论. 这是正确理解应用的关键; 例2是基本几何作图,会通过作弧所夹弦的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想在这里的运用.,习题P42 3、5。祝你成功！,思考题,已知点P是半径为5的O内一定点，且OP=4,则过点P的所有弦中，弦长可能取的整数值为,再见,谢 谢 指 导 ！,
