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1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(一),一、教材分析二、教法学法分析三、教学过程分析四、板书设计,一、教材分析,1、教材的地位及作用,函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函数及二次函数y=ax2知识的延续和深化，又是对二次函数特殊情形的研究，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。,根据新课标的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基础，目标制订如下：,(1)使学生会画出二类特殊二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)
2、2的图象，能通过它们的图象和解析式，正确地说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们的图象与抛物线y=ax2的位置关系，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力。知识与技能目标,(2)让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。过程与方法目标,(3)在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，情感、态度、价值观目标,2、教学目标,根据学生的认知发展水平和教材的特点，确定以下
3、重难点,重点：根据二次函数的图象与解析式，能说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们图象间的位置关系。,难点：会由所学特殊函数的特殊情形向一般情形转化，了解图象间的平移规律。,3、教学的重、难点,学生已掌握一次函数，二次函数y=ax2图象的画法，以及它们图象的性质。 学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与 能力。 初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。,4、 学情分析,由于本节课的教学要借助图象来完成，例题间又缺乏过渡，教材知识点较为抽象，我对教材作了以下处理： 在例题教学前安排了一组准备性练习。 把例2进行改造，使例2的函数解析式与例1的相近。 增设了一道情
4、景课堂作业。目的：调整学生的思维状态，作好知识准备，提高课堂效率；保持学习的连续性，降低教材难度，便于问题的探究和重难点的突破；让学生体验学习乐趣。,5、教材处理,二、教法学法分析,1 教法（关键词：情境、探究、分层）,基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法 为主进行教学。让学生在开放的情境中，在教师的 引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。,根据学生的思维特点、
5、认知水平，遵循“教必须以学为立足点”的教育理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在各个环节中引导学生类比迁移，对照学习。以自主探索为主，学会合作交流，在师生互动、生生互动中让每个学生动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性，使学生由“学会”变“会学”和“乐学”。,2、学法（关键词：类比、自主、合作）,采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美和抛物线的运动与变化，激发学生的学习 兴趣，参与热情，增大教学容量，提高教学效率。,3、教学手段,二次函数 的性质,当 ,y随x的增大而减小；当 ，y随x的增大而增大,当 时，,当 时，,当 ,y随x的增大而增大；当 ,y随x的增大而减小,开
6、口向上,开口向下,回顾,a0,a0,1、画二次函数 的图象并研究其性质。,探究一,=,y=,一般式,顶点式,转化,？,配方:,如何把 二次函数 转化成顶点式 ？,提取：二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,写方:前三项化为平方形式,化简:去掉中括号,整理,用配方法求 的对称轴和顶点坐标 。,趁热打铁,解：,对称轴：x=2顶点坐标：（2,0）,提取：二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,写方:前三项化为平方形式,化简:去掉中括号,整理,配方:,如何把 二次函数 转化成顶点式 ？,提取：二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,写方:前三项化为平方
7、形式,化简:去掉中括号,整理,54,1 2 3 4 5 6 7 8 9,x,0,1,2,3,y,6,3 4 5,7 8 9,x,y,3,3.5,3.5,5,5,7.5,7.5,6,7,8,函数,顶点坐标,对称轴,开口方向,最值,向上,直线x=6,（6,3）,当x=6时，y有最小值3,当x6时，y随x的增大而增大。,二次函数 由 如何平移？,先向上平移3个单位，再向右平移6个单位。,注意：要先化成顶点式再进行平移,函数y=ax+bx+c的顶点式,解:,提取：二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,写方:前三项化为平方形式,化简:去掉中括号,整理,函数y=ax+bx+c的顶点式：,
8、对称轴：顶点坐标公式：,顶点坐标公式要熟记！,用 求 的对称轴和顶点坐标 。,学以致用,解：,对称轴：x=2顶点坐标：（2,0）,配方法,公式法,解：,二次函数 的性质,当 ,y随x的增大而减小；当 ，y随x的增大而增大,当 时，,当 时，,当 ,y随x的增大而增大；当 ，y随x的增大而减小,开口向上,开口向下,归纳,a0,a0,1.（2010安徽）若二次函数 配方后为 ，则b，k的值分别为 （ ） A. 0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,1,D,中考链接,2.（2014三明）已知二次函数 ，当x1时，y随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A.b-1 B.b-1 C.b1
9、 D.b1,D,同学们还能想出别的方法将一般式化成顶点式吗？,拓展探索,四、板书设计,课 题1、情景问题 3、二次函数的顶点式 2、探究一小结 4、二次函数的性质小结,设计意图：再现过程、突出重点,谢谢！,Thank you！,用“五点法 ”画二次函数的图象：,1：用配方法或公式法求出顶点坐标，对称轴和确定开口方向。2：利用抛物线的对称性写出抛物线和y轴的交点及该点的对称点的 坐标。3:令y=0，解方程 求出与x轴的两交点坐标，若无交点，则任意找一对对称点。 4：列表，描点，连线，画出图象。,6.已知 .(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最值;(2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标;
10、(3)作出函数的草图;(4)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大;x为何值时,y随x的增大而减小;(5)观察图象:当x何值时,y0;当x何值时,y=0;当x何值时,y0.,二次函数解析式常见设法8：顶点式（交点式）,已知抛物线与x轴两交点坐标（x1，0）（x2，0），可设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 例1;已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）,求解析式 解：由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3， 设解析式为y=a(x-1)(x-3), 过（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1 y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3,例2、已知二次
11、函数y=ax2-5x+c的图象如图。,(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;,(2)、当x为何值时，y0。,(3)、求它的解析式和顶点坐标；,例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x,(三)根据函数性质求函数解析式,前进
12、,例5：,已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？,(四)二次函数综合应用,前进,例5：,已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而
13、减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？,前进,例5：,已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？,解:,前进,解,0,x,y,(3),前进,解,0,M(-1,-2),C(0,-),A(-3,0),B(1,0),3,2,y,x,D,前进,解,解,0,x,x=-1,(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,:(5),(-1,-2),当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2,当x-1时，y随x的增大而减小;,前进,解:,0,(-1,-2),(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,y,x,由图象可知,(6),
