【2020年】北师大版数学必修五(全书)ppt课件省优.pptx

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2、排列如下：78 345， 82 067，89 442，95 933， 102 398.,实例分析,(3)“人口问题” 是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础，历次全国人口普查公报数据资料见表，五次普查人口数量(百万)依次排列为：601.93， 723.07，1 031.88， 1 160.02， 1 295.33,实例分析,(4) 正弦函数的图像在y轴左侧所有最低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数,实例分析,(5)正奇数1，3，5，7，的倒数排成一列数,(6)某人2006年112月工资，按月顺序排列为1 100，1 100， 1 100，

3、， 1 100,实例分析,一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数都叫作这个数列的项.,首项,通项,引入新知,3，4，5，6，7，8，9,78 345， 82 067，89 442，95 933， 102 398.,601.93， 723.07，1 031.88， 1 160.02，1 295.33,1 100，1 100， 1 100， ， 1 100,有穷数列,无穷数列,引入新知,序号 1， 2， 3， 4， n，,上面数列(5)中，每一项的序号n与这一项an有下列对应关系：,项 1，,对应关系：,引入新知,抽象概括,实际上，对任意数列an，其每一项的序号与该项都有对应关系

4、，见下表,数列的实质：定义域为正整数集,（或其有限子集,通项公式:an 与 n 之间的函数关系式,通项公式即相应的函数解析式an=f(n).,抽象概括,数列的实质：从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N（或它的有限子集1，2，n）的函数f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值, 即 f(1), f(2), f(3), f(n) ,通常用 an代替 f(n).,例1、根据下面数列,的通项公式，写出它的前5项.,解：将1，2，3，4，5分别代入各通项公式，可得前5项；,问题：,是否为数列中的项，怎么判别？,例题讲解,例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下

5、列各数：, 1，3，5，7；, 7，6，5，4，3，2，1.,解:,例题讲解,小结与复习,一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数都叫作这个数列的项.,课本练习1-6题,1.1.2 数列的函数特性,新中国成立后，我国19521994年间部分年份进出口贸易总额(亿美元)数据排成一组数列 19.4，31.0，42.5，45.9，147.5，381.4，696.0，1 154.4，2 367.3 此数据也可以用图直观表示(如下图),实例分析,我们可以把一个数列用图像来表示下左图是数列3，4，5，6，7，8，9的图像；下右图是数列1100，1100，1100的图像.,递增数列,常数列,

6、实例分析,一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1an,那么这个数列叫作递增数列.,如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an+1an,那么这个数列叫作递减数列.,如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.,抽象概括,例1 判断下列无穷数列的增减性.(1)2，1，0，1，3n,例题解析,例2作出数列 的图像，并分析数列的增减性.,解：右图是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于数轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的.,例题解析,课后练习,课本第8页练习,课堂小结,递增数列,常数列,递减数列,举例说明以下数列:,课本第8页习

7、题11,1.2.1 等差数列(1),考察下列两个数列的共同特征.(1)一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第1排起各排的座位数组成数列： 38，40，42，44，46这个剧场座位安排有何规律？(2)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底长度)由大至小可排列为这种尺码的排列有何规律？,问题提出,这三个数列有何共同特征,从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数.,请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义,问题提出,如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示.,定义中的关

8、键词：,从第2项起,等于同一个常数,每一项与其前一项的差,抽象概括,例1 判断下面数列是否为等差数列(1) an=2n-1 (2)an=(-1)n,例题讲解,解 :（1） 由通项知，该数列为：,1，3，5，7，,由an=2n-1, ，知an=2(n+1)-1, 于是,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2.,由n的任意性知，这个数列是等差数列.,例2 已知等差数列an，a1=1，d= ，求通项an .,例题讲解,解 根据定义，我们知道，这个数列开头几项应该是:,因此，我们就可以归纳出一个规律：第n项等于第一项加上公差的(n-1)倍(n2)，即,当n=1时，有a1=1+(1-1) ,

9、所以，这个公式对n=1也成立.,a2=a1+d,由此得到 an=a1+(n-1)d,an-a1=(n-1)d,an-an-1=d,a4-a3=d,a3-a2=d,an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,a3=a1+2d,a2-a1=d,如果等差数列an的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：,等差数列的通项公式,解： 1）由题意得，a1=8,d=-3,2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401,an=a1+(n-1)d,所以n=100 ，故-401是这个数列的第100项.,所以a20=a1+19d=8+19(-3)=-49,-401=-5+(n-1)(-4),例题解析,

10、例3 1）等差数列8，5，2,的第20项是几？ 2）-401是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？,解：由题意，a5=a1+4d a12=a1+11d,解之得a1=-2 d=3,若让求a7，怎样求？,即10=a1+4d 31=a1+11d,例题解析,例4 在等差数列an中，已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d.,练习,课本练习1,1.2.1 等差数列(2),下面我们从函数的角度研究等差数列an 由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变

11、量每增加1，函数值增加d.,当d0时，an为递增数列当d0时，an为递减数列当d=0时，an为常数列,想一想,当d0时，an为递增数列当d0时，an为递减数列当d=0时，an为常数列,a1+(n-1)d,a1+(n-1)d,a1,想一想,例1 已知(1,1)，(3,5)是等差数列an图像上的两点.（1）求这个数列的通项公式；（2）画出这个数列的图像；（3）判断这个数列的单调性.,解 （1）由于(1,1)，(3,5)是等差数列an图像上的两点.所以 a1=1, a3=5由 a3= a12d =1+2d=5解得 d=2于是 an=2n-1,例题解析,（2）图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如

12、图,（3）因为一次函数y=2x-1是增函数，所以数列an是递增函数.,例题解析,如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项 .,由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：,意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .,等差中项,例2 一个木制梯形架的上下两底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架中间各级的宽度.,例题解析,解 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为 an，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而an成等差数列

13、.依题意有 a1=33cm，a7=75cm 现要求a2 ，a3 ，a6，即中间5层的宽度.,例题解析,练习,课本练习2,课堂小结,如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项 .,由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：,1.2.2 等差数列的前n项和,1.等差数列的定义：,2.通项公式：,复习回顾,问题提出,如右图有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？,根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1，2，3，,设共摆放了n层，能构成三角形垛的圆木料数为Sn，则 Sn=1+2+3

14、+n,这是一个等差数列的求和问题.如何计算该等差数列的和呢？,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常.上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊.那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（17771855）， 德国数学家、物理学家和天文学家.他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家.有“数学王子”之称.,高斯“神速求和”的故事:,首项与末项的和： 1100101，,第2项与倒数第2项的和： 299 =101，,第3项与倒数第3项的和： 398 101，, ,第

15、50项与倒数第50项的和： 5051101，,于是所求的和是：,求 S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,高斯算法用到了等差数列的什么性质？,如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数.,即求：S=4+5+6+7+8+9+10.,高斯算法：S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.,还有其它算法吗？,S=10+9+8+7+6+5+4.,S=4+5+6+7+8+9+10.,相加得：,倒序相加法,两种求和法 ： 高斯算法 倒序相加法,怎样求一般等差数列的前n项和呢？,抽象概括,等差数列的前n项和公式,公式

16、1,公式2,公式记忆, 类比梯形面积公式记忆,例题解析,例1 求前n个正奇数的和.,解 由等差数列前n项和公式，得,例2 在数列an中，an=2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值.,解 由于,所以，数列an是公差为2的等差数列，此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项，所求和为,例题解析,例3 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗.这名工人一次只能运一棵，要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？,例题解析,1.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项

17、公式.,解：,课内练习,解:,课内练习,1.用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,课堂小结,3.应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.,已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.,课堂小结,1.3.1 等比数列(1),下列问题中的数列有什么共同特征？,问题提出,你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合，再拉伸，再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条. 这样捏合8次后可拉出多少根细面条？,第1次是1根,后面每次捏合都将1根变为2根,故有:第2

18、次捏合成212根第3次捏合成2222根第8次捏合成22627128根,问题提出,前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1，2，4，8，16，32，64，128,这个数列，从第二项起，每一项与 前一项的比都是2.,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示.,上述数列的公比为2.,抽象概括,例题讲解,例1 以下数列中，哪些是等比数列？（1） （2）1，1，1，1（3）1，2，4，8，12，16，20（4）a，a2，a3，,an,等比数列的通项公式,是等比数列，它的公比是q，那么,由

19、此可知等比数列 的通项公式为,当q=1时，这是一个常函数,例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12.求它的第8项的值.,例题解析,解 设这个等比数列的首项为a1，公比为q，则由已知，得,（1）,（2）,由（1）式代入（2）式，得,解得,故数列的第8项是4374或256.,1. 求下列等比数列的第4，5项：,（2）1.2，2.4，4.8，,（1） 5，-15，45，,课堂练习,2. 已知等比数列 ：,（2）公比q能不能是零？,（1） 首项 能不能是零？,不能！,不能！,课堂练习,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫作等

20、比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示.,课堂小结,1.3.1 等比数列(2),一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示.,复习回顾,根据指数函数的单调性，分析等比数列an=a1qn-1(q0)的单调性，填写下表,思考交流,例1 在各项为负数的数列an中，已知2an=3an+1,且,（1）求证：an是等比数列，并求出通项公式；（2）试问 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由.,例题解析,例2 培育水稻新品种，如果第1代得到120

21、粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？,解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，,因此，逐代的种子数组成等比数列，记为,答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子 粒.,例题解析,例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.,用 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,解得,因此，,答：这个数列的第1项与第2项分别是,解：,例题解析,例4 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是

22、多少（精确到1%）？,解：,将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依(1-x)为的公比等比数列 ，,设平均每次降价的百分率是x，那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.,若原价格为a，则降价x后的价格a-ax=a(1-x),例题解析,由已知条件，有,因此，,答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.,等比中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：,（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，1,3,2,6,1,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项.,求下列各组数的

23、等比中项,（1） 45和80,课内练习,课堂小结,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项.,1.3.2求数列的通项,类型一 观察法：已知前几项，写通项公式,类型二 前n项和法 已知前n项和，求通项公式,例3,在an中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通项an.,练：,类型三 累加法 形如 的递推式,类型四 累乘法形如 的递推式,例4,练：,例5,类型五 形如 的递推式,分析：配凑法构造辅助数列,类型六 形如 的递推式,例6,取倒法构造辅助数列,类型七 相除法形如 的递推式,例7,类型八 形如 的递推式,例8,求数列的通项公式,课堂小结,1

24、：,课内练习,2：,课内练习,4.,课内练习,1.3.2 等比数列的前n项和,1.等比数列的定义： 2.通项公式：3.数列中通项与前n项和的关系：,复习回顾,问题情景,一天，小林和小明做“贷款”游戏，它们签订了一份合同.从签订合同之日起，在整整一个月(30天)中，小明第一天贷给小林1万，第二天贷给小林2万以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天还2分钱，第3天还4分钱以后每天还的前数是前一天的两倍. 合同开始生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第2天小林支出2分钱，收入2万元；第3天支出4分钱，收入3万元到了第10天，他共得到55万元，付出

25、的总数只有10元2角3分.,问题情景,到第20天，小林共得210万元，而小明才得1048575分，共1万元多一点.小林想：要是合同订两个月，三个月该多好！ 果真是这样吗？,设30天后，小林得到的钱数为T30(万元)，小明得到的钱数为S30(分)，则根据合同,这可不是个小数目！利用计算器，得到：,小林听到这个结果.肯定会吓出一身冷汗！,问题情景,探求:等比数列求和的方法,问题：已知等比数列 , 公比为q,求：,思考：,抽象概括,错位相减法,当q1时,两式相减，得,当q=1时，Sn=?,此式相邻两项有何关系？,当q=1时,由等比定理，得,等比数列定义：,与 什么关系？,与 什么关系？,比例式连等的

26、形式能否变成和的形式？怎样变？,利用定义法,(利用 ),等比数列前n 项和公式,公式：,公式：,根据求和公式，运用方程思想， 五个基本量中“知三求二”.,注意对 是否等于 进行分类讨论,例1 (1)已知等比数列an中，a1=2，q=3.求S3,例题讲解,(2)求等比数列 的前10项的和.,解：,例2,例题讲解,解法1：,代入得,代入得：n=5.,解法2,例3 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少（结果精确到万元）？,例题讲解,解 每年的利税组成一个首项 公比的等比数列.从今年起，第5年的利税为,这5年的利

27、税为,例题讲解,1.根据下列条件，求相应的等比数列 的,课内练习,2.求等比数列 1，2，4，从第5项到第10项的和.,从第5项到第10项的和:,课内练习,3.求等比数列 从第3项到第7项的和.,从第3项到第7项的和:,课内练习,1.求和公式,当q1时，,当q=1时，,注意分类讨论的思想！ 等比数列求和时必须弄清q=1还是q1.,运用方程的思想，五个量“知三求二”.,2.公式的推导方法,强调：,（重在过程）,注意运用整体运算的思想.,课堂小结,1.4 数列在日常经济生活中的应用,单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金利率存期 若以符号P代

28、表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(简称本利和),则有 S=P(1+nr),你知道吗？,复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期的本金,在计算时每一期的数额是不同的.复利的计算公式是 S=P(1+r)n,说明,例1 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).,(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式.,零存整取模型,(2)若每月初存入500元,月利率为0.5%,到第24个月末整取时的本利和是多少

29、?,例1 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).,(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.5%,希望 到第12个月末整取时取得本利和为2000元.那么每月初应存入的金额是多少?,零存整取模型,解 （1）根据题意，第1个月存入的x元，到期利息为 ；第2个月存入的x元，到期利息为 ；第n个月存入的x元，到期利息为 ； 不难看出，这是一个等差数列求和的问题.,各月的利息之和为,零存整取模型,而本金为nx元，这样就得到本利和公式,即,零存整取模型,（2）每月存入500元，月利率

30、为0.3，根据公式 ，本利和,（3）依题意在式子 中，y=2000, r=0.3%, n=12,答 每月应存入163.48元.,零存整取模型,例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:,(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,再取出本利和.试求出储户年后所得的本利和的公式;,定期自动转存模型,例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存

31、款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:,(2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率 为1.98%,那么5年后共得本利和多少万元?,定期自动转存模型,银行整存整取定期储蓄年利率如表所示:,某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理(不考虑利息税):(1)直接存入5年定期;(2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.,问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方式更合算?,问题2:你能设计出更好的存款方案吗?,思考交流,分期付款的有关规定,1.分期付款分若干次

32、付款,每次付款额相同,各次付款的时间间隔相同.2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月(年)的利息要计入本金.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公平的.,例3 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?,分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.,分期付款模型,设小华每期还款x元

33、,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则,由题意年底还清,所以,解得:,答:小华每次付款的金额为880.8元.,分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等.,例3 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?,解:设小华每期还款 元,则,购买2个月后第1次付款 元,此 元到10个月后本利和为 元,购买4个月后第2次付款 元,此 元到8个

34、月后本利和为 元,同理,购买12个月后第6次付款 元,此 元当月的本利和为 元,又小华一年后应还给商场的总金额增值为:,思考交流,商场出售电脑,提出了如下的3种付款方式,以供顾客选择.请分别算出各种付款方式每次应付款金额.,某林场原有木材量为a m3,木材以每年25的增长率生成,而每年要砍伐的木材量为x m3,为使20 年木材存有量至少翻两番,求每年砍伐量x的最大值.(取lg2=0.3),练一练,课题学习：教育储蓄,课题背景,数学课题学习如何走进教材、走进课堂？现在根据课堂教学的实际和思考以教育储蓄为例设计一个课题学习的过程. 教育储蓄，是一种零存整取的定期储蓄存款方式，是国家为了鼓励城乡居民

35、以储蓄存款方式，为子女接受非义务教育积蓄资金，从而促进教育事业发展而开办的目前越来越多的家长意识到，为了孩子将来能接受良好的高等教育，为子女办理教育储蓄是一种较为理想的投资,搜集资料,为了解决“教育储蓄”的一系列计算问题，加深对它的认识，请收集“教育储蓄”的有关资料，例如可以通过以下途径：网上主题词检索、各大银行直接询问等重点确认以下信息：教育储蓄的适用对象，储蓄类型，最低起存金额、每户存款本金的最高限额，支取方式，银行现行的各类、各档存款利率，零存整取、整存整取的本息计算方法,请根据搜集到的信息，你们提出一些待解决的问题：(下面是学生、教师提出的一些有代表性的问题，特别注意后面问题的开放性)

36、 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少钱? 依教育储蓄的方式，每月存n元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少钱？,呈现问题, 依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少7 如果想在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存人多少钱？ 如果想在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少钱？ 依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？, 依教育储蓄的方式，原打算每月存a元，连续存6年，

37、可是到b(0b6)年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱? 自己设计其他计算题(如自己设立指标，计算并比较3年期和6年期的教育储蓄的相对收益的大小)； 设计一项专项储蓄方案等； 设计一个回报率更高的投资方案等,分组讨论求解以上问题的方案，实际解决这些问题 完成个人或小组的“课题研究报告”,实施建议,在班级或年级召开小型的研究成果报告会，让学生(组)的代表报告成果，对问题求解有特色、合作学习有收获、问题挖掘有创意、结果呈现有个性、自主钻研有创新的成果予以肯定、鼓励和表彰，评价中突出“生生之间的评价、教师的鉴赏和点评”,要容许学生发展、验证他们自己的猜想和结论猜想不一定是正确的，证

38、实和证伪同样有意义、有收获、也同样重要要注意每个学生的特长领域，引导学生在解决问题的过程中学会合作、学会优势互补地发挥各自的特长教师要在自己的视野内努力寻找宜于学生使用的数学课题学习的问题，做好每个问题解决过程的记录，学生成功的经验、教师自己在挫折中得到的教训，这些对于今后的数学课题学习的教学设计都有重要的价值对这些经验教训的反思，是教师由数学课题学习的生手到行家的有效途径之一.,数学课题学习的评价具体涉及以下几个方面：(1)调查、求解的过程和结果要合理、清楚、简洁；(2)要有自己独到的思考和发现；(3)能够恰当的使用(网络和计算)工具；(4)采用合理、简捷的算法；(5)提出有价值的求解设计和

39、有见地的新问题；(6)发挥每个组员的特长，合作学习有效果,2.2三角形中的几何计算,正弦定理：,a2=b2+c22bccosAb2= a2+c22accosBc2 =a2+ b22abcosC,余弦定理：,复习回顾,三角形面积公式：,复习回顾,例题讲解,例1 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=5，AC9，BCA30，ADB45.求BD的长.,解 在ABC中， AB=5，AC9，BCA30.由正弦定理，得,因为ADBC，所以BAD180 ABC,同理,在ABD中, AB=5， ADB45,例题讲解,例2 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始作匀速直线运动，到达点B时，发现足球

40、在点D处正以2倍于自己的速度像点A作匀速直线滚动.如图所示，已知 若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？,例题讲解,分析 机器人最快截住足球的地方正式机器人与足球同时到达的地方，设为C点.利用速度建立AC与BC之间的 关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题.,例题讲解,解 设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BCx dm，由题意，CD2x dmAC=AD-CD=(17-2x) dm,在ABC中，由余弦定理得,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例4 如图,设A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.,例题讲解,分析：用例1的

41、方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间距离.,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得 BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在ADC和BDC中，应用正弦定理得：,2.3解三角形的实际应用举例,正弦定理：,a2=b2+c22bccosAb2= a2+c22accosBc2 =a2+ b22abcosC,余弦定理：,复习回顾,三角形面积公式：,复习回顾,例题讲解,例1,例2 如图1.2-4 ,AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.,例

42、题讲解,分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量建筑物的高.由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高.所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长.,解：选择一条水平基线HG, 使H、G、B三点在同一条直线上，由在H, G两点用测角仪器测得A的仰角分别为，CD=a. 测角仪器的高为h, 那么，在ACD中，根据正弦定理可得：,例题讲解,例3 如图1.2-1 设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离. 测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m, BAC=510, ACB=750.求A

43、、B两点间的距离.（精确到0.1m）,解：根据正弦定理，得,答：A、B两点间的距离为65.7米.,例题讲解,例4 如图1.2-6 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北250的方向上，仰角为80，求此山的高度CD.,例题讲解,分析：要测出高CD, 只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长，根据已知条件，可以计算出BC的长.,答:山的高度大约为1047米.,例5 如图1.28，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88

44、m, 127m, 这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）,例题讲解,解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦定理可得：,答：这个区域的面积是2840.4m2,例题讲解,2.1.1 正弦定理(1),问题提出,两等式间有联系吗？,即正弦定理，定理对任意三角形均成立,分析理解,向量的数量积 ， 为向量a 与b 的夹角,如何构造向量及等式？,如何利用向量建立三角形的边长与三角函数间的联系？,分析理解,即,同理，过C作单位向量j 垂直于 ，可得,则有j 与 的夹角为 ， j 与 的夹角为 . 等式,正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即,正弦定理可以解什么类型

45、的三角形问题？,已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.,正弦定理,例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破坏.现测得如下数据：BC2.57cm，CE3.57cm，BD4.38cm，B45，C120.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm),A,分析 :如图，将BD，CE分别延长相交于一点A，在ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AB的长.,例题讲解,解：将BD，CE分别延长相交于一点A ，在ABC中，BC2.57cm，B45，C120A180(B+C)=180-(45+120)=1

46、5,利用计算器算得,同理,例题讲解,例2 在 中，已知 ，求b（保留两个有效数字）.,解： 且,例题讲解,例3 在 中，已知 ，求 .,解：由,得, 在 中, A 为锐角,例题讲解,例4 在 中， ， 求 的面积S,解：,由正弦定理得,例题讲解,（1）在 中，一定成立的等式是（ ）,C,（2）在 中，若 ，则 是( ) A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三有形,D,课内练习,（3）在任一 中，求证：,证明：由于正弦定理：令,所以等式成立,课内练习,通过本节学习，我们研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量工具的作用.,明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题.已知两边和其中一

47、边所对的角；两角一边.,课堂小结,2.1.1 正弦定理(2),问题提出,如图，在 RtABC中，斜边AB是 ABC外接圆的直径（设RtABC外接圆的半径为R），因此,如这个结论对于任意三角形是否成立？,B,A,B,在 RtABC中，C=90，则ABC的面积S1/2ab，对于任意ABC，已知a，b，及C，则ABC的面积S1/2absinC,你能得出这一结论吗？,问题提出,例题讲解,例 1在ABC中，,例题讲解,课本49页练习2,当堂练习,课堂小结,2.1.2 余弦定理(1),问题提出,在三角形中，已知两角及其一边，或已知两边和其中一边的对角，可以利用正弦定理求其他的边和角.那么，已知两边及其夹角

48、，怎么求出此角的对边呢？已知三条边，由怎么求出它的三个角呢？,分析理解,我们利用向量来研究,如图所示，根据向量的数量积.可以得到,即,同理可证,定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.,余弦定理,余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例4 如图，有两条直线AB和CD相交成80角，交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA, OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h.3时后两人相距多远（结果精确到0.1km）?,P,Q,分析:经过3时，甲

49、到达点P，OP4312(km),乙到达点Q，OQ4.5313.5(km)，问题转化为在OPQ中，已知OP12km,OQ=13.5km, POQ= 80,求 PQ的长.,解 经过3时，甲到达点P，OP4312(km),乙到达点Q，OQ4.5313.5(km)，依余弦定理，知,答： 3时后两人相距约16.4km.,例题讲解,1.三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.,课堂小结,2.余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.,课堂小结,2.1.2 余弦定理(2),1.正弦定理：在任一个

50、三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= = =2R（R为ABC外接圆半径）,2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： ( 1)两角和任意一边，求其它两边和一角；,(2)两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:,复习回顾,(3)若A为直角或钝角时:,2余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.,1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.,即,例1在AB