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2、道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的视频，注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象.请你举出生活中存在周期现象的例子.,（单摆运动、四季变化等）,想一想,分析理解,那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？,观察表1-1,思考回答下列问题：如何理解“散点图”？ 图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ 如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？,从散点图可以看出，每经过相同的时间T（12h），水深度就重复出现相同的数值，因此，水深是周期性变化.这样的周期性现象我们身边还很多，下面我们再分析几个例子.,例题分析,2,4,6,8,8,16,24,t
3、/h,H/m,散点图,例题解析,例1地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t是周期性的的吗？,解：根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周，无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的.,例2 右图是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离记为y，若以钟摆偏离铅垂线MN的角的度数为变量，根据物理知识，y与都随时间的变化而周期性变化.,例题解析,今天是星期三,那么7k(kZ)天后的那一天是星期几?7k(kZ)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?,归纳整理，整体认识
4、（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出. （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？,课堂作业,1习题1-1第1,2,3题 2多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点,课后作业,2 角的概念的推广,角一点出发的两条射线所围成的图形,角一条射线绕一个短点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,复习回顾,规定：逆时针转动正角 顺时针转动负角 没有转动 零角,终边与始边重合的角是零角吗？,不是,复习回顾,角的集合的表示方法,4、象限角,将已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边
5、与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，我们就称这个角是第几象限角,复习回顾,例题解析,例2 写出与 角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式 的元素写出来.,解：,S中适合 的元素是：,例题解析,的角表示）,到,（用,上的角的集合,写出终边在下列位置,o,o,360,0,例3,例题解析,课内练习,课内练习,课后作业,习题1-2 1,2,3,4,3 弧度制,A,复习回顾,1.小学:角度制:用度数做单位度量角的方法. 单位(1角):圆周角的1/360为1圆周长 L=2R,3.上节:角 都是以度数形式给出的.,弧度制的定义:,1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心 角叫做1弧
6、度的角.用符号rad表示.,用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制,引入新知,2.任一已知角的弧度数的绝对值,其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径.,3. l = | r,(弧长计算公式),引入新知,l,4.角度制与弧度制的换算:,360 = 2 rad,180 = rad,5 .特殊角的度数与弧度数的对应表:,0,4,3,2,32,例1 把45化成弧度； 解：,例2 把 rad化成度数；解：,例题解析,例3 利用弧度制证明扇形的公式：,证：圆心角为1的扇形的面积为 ，又弧长为l的扇形的圆心角的大小为 ， 扇形的面积S .,例题解析,解:(1),解:(2) 设圆半径为R, 则,这是
7、？（弧长,扇形面积）,例4 (1)已知扇形所在圆半径为5，圆心角135，求扇形面积.,(2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？,例题解析,例题解析,作业: 习题1-3 1. (1)， 2.(1)(3) ，4， 6， 7. (3) (4) , 8.,思考：钟表分针和时针在3点到5点40分 这段时间里 分针转过_弧度的角， 时针转过_弧度的角. 若时针转过3cm,则时针转过的弧长是 _,练习1 化下列各角为度数或弧度： (1)225 (2)2已知扇形OAB的圆心角为120， 半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积.,课内练习及作业,角的度量形式(角度制,弧度制),弧度
8、的单位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面积等).,课堂小结,习题1-3,第1、2题,课后作业,4.1- 4.2 任意角的正弦函数、余弦函数的定义，单位圆与周期性,锐角的正弦、余弦函数的定义：,复习引入,对边,邻边,斜边,以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆,下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数,引入新知,任意角的正弦函数、余弦函数定义：,如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：,（1）v叫做的正弦，记作sin， 即sin=v；,（2）u叫做的余弦，记作 cos，即cos=u,引入新知,R
9、,R,三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.,角(弧度数) 实数,三角函数可以看成是自变量为实数的函数,一一对应,定义域,函数,引入新知,正弦、余弦全为正,正弦为正,正弦、余弦,余弦为正,正弦为负,全为负,余弦为负,正弦、余弦函数值的符号,函数周期性的定义,对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值 时，f（ x+T ）=f（ x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.,sin(x+)=sinx,2k,正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期 T=2k (kZ且k0),cos(x+)=
10、cosx,2k,(kZ且k0),最小正周期的概念：,对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.,sin(x+)=sinxcos(x+)=cosx,2 2,自变量x只要并且至少增加到x+2时，函数值才能重复取得.,正弦函数和余弦函数的最小正周期是2.,最小正周期在图象上的意义 ：,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离.,例1 求 的正弦、余弦.,x,y,O,P,x(1,0),M,易知 的终边与单位圆的交点为,例题讲解,例2已知角的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦.,设角 的终边与单位圆的交点为P(x,y),过P作P
11、Mx轴于M,过P0作P0 M0 x轴. 显 显然RtOMP RtOM0P0 且,例题讲解,练习 已知角的终边经过点P(2,-3)，求角的正弦、余弦.,变式1.设角 的终边过点 ,其中 ,则 .,课内练习,例3 确定下列各三角函数值的符号： cos250; sin(-/4); sin(-672); cos3;,例4 已知sin0且cos0,确定角的象限.,例题讲解,1.任意角的正弦、余弦函数的定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v),则,2.三角函数都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.,复习小结,4.3单位圆与诱导公式（1）,公式一,sin(+k360
12、) = sin cos(+k360) = cos 其中 kZ,复习回顾,利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值,如左图，由定义，都有：,sin= y,cos= x,公式一的用途,任意角的三角函数值,0 到 360 角的三角函数值,0 到 90 角的三角函数值,本节的内容,引入新知,（1）90 360 的角能否与不大于90的非负角相联系？,想一想,设090 ，那么，,对于90 180 间的角，可表示成：,180 -或90 +;,对于180 270 间的角，可表示成：,对于270 360 间的角，可表示成：,180 +;,360 -;,1.研究180 + 与的三角函数值的关系,x,y,o,P(x,y
13、),(1,0),的终边,180 +,180 +的终边,p1(-x,-y),sin(180 +) = -sin cos(180 +) = -cos,公式,公式推导,2.研究 -与的三角函数值的关系,-的终边,sin(-) = -sin cos(-) = cos,公式,公式推导,3.研究 180-与的三角函数值的关系,y,x,o,P(x,y),(1,0),的终边,180-的终边,P(-x, y),sin(180-) =sin cos(180-) = -cos,公式四,公式推导,4.研究 90+与的三角函数值的关系,y,x,o,P(x,y),(1,0),的终边,90+的终边,P(-y,x ),sin
14、(90+) =cos cos(90+) = -sin,公式五,公式推导,记忆：(把看成是锐角)函数名不变，符号看象限,公式二,公式三,sin(-) = -sincos(-) = cos,sin(180 +) = -sin cos(180 +) = -cos,sin(180-) =sin cos(180-) = -cos,公式四,公式五,sin(90+) =cos cos(90+) = -sin,例1 求下列三角函数值：（1） (2) cos (3),例题解析,例2 求下列三角函数值：,例题解析,例3 化简：,例题解析,记忆：(角看成是锐角)函数名不变，符号看象限,公式二,公式三,sin(-)
15、= -sincos(-) = cos,sin(180 +) = -sin cos(180 +) = -cos,sin(180-) =sin cos(180-) = -cos,公式四,公式五,sin(90+) =cos cos(90+) = -sin,复习回顾,课后作业,1.习题1-4 A组6,7,8,则A的值构成的集合是_,4.3 单位圆与诱导公式（2）,记忆：(角看成是锐角)函数名不变，符号看象限,公式二,公式三,sin(-) = -sincos(-) = cos,sin(180 +) = -sin cos(180 +) = -cos,sin(180-) =sin cos(180-) = -
16、cos,公式四,Sin(k360+)=sincos(k360+)=cos,公式一,复习回顾,公式五,公式六,记忆：(角看成是锐角)函数名改变，符号看象限,sin(270-)= -coscos(270-)= -sin,sin(270+)= -coscos(270+)=sin,变形公式,变形公式,sin(90-)=coscos(90-)=sin,sin(90+)=coscos(90+)= -sin,复习回顾,总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤:,任意负角的正弦、余弦函数,用公式 一、三,任意正角的正弦、余弦函数,用公式 一,0360间角的正弦、余弦函数,用公式二、四、五,六,090间角
17、的正弦、余弦函数,计算器,求 值,例1、求三角函数值,例题解析,例2、求证,例题解析,例题解析,例题解析,例5、 设,求证,例题解析,课后作业,课后作业,5.1-5.2 从单位圆看正弦函数的性质，正弦函数ysinx的图像,知识回顾,1. 三角函数是以角(实数)为自变量的函数.,2. 常用画图的方法: 描点法,y =sinx 过点,故介绍另一种画法:几何法(即利用三角函数线画图),点,三角函数,三角函数线,正弦函数,正弦函数的图像,-1,P,M,A(1,0),T,sin=MP,注意：三角函数线是有向线段！,正弦线MP,问题提出,问题：如何利用单位圆中正弦线来作出正弦函数的图像？,y=sinx x
18、0,2,y=sinx xR,终边相同角的三角函数值相等,即： sin(x+2k)=sinx, kZ,描图：用光滑曲线 将这些正弦线的终点连结起来,利用图像平移,A,B,正弦曲线,想一想,如何作出正弦函数的图像（在精确度要求不太高时）？,(0,0),( ,1),( ,0),( ,-1),( 2 ,0),五点画图法,五点法,正弦曲线,例题解析,例 (1) 画出函数y=-sinx，x0, 2的简图：,0 2 ,0,1,0,-1,0,0 -1 0 1 0,y=sinx，x0, 2,y=-sinx，x0, 2,步骤：1.列表2.描点3.连线,例题解析,例 (2) 画出函数y=1+sinx，x0, 2的简
19、图：,0 2 ,0,1,0,-1,0,1 2 1 0 1,y=sinx，x0, 2,y=1+sinx，x0, 2,步骤：1.列表2.描点3.连线,课内练习,0 2 ,y=sinx，x0, 2,1,0,0,-1,0,0 ,练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sin(x+ )，x , ,小结,1. 正弦函数曲线,2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系,y=sinx，x0, 2,课堂小结,用“五点法”作下面函数的图像. 1、y=sin(x+1), x 0,2 2、y=2sinx, x 0,2,关键是把“五点”找准，并想一想找“五点”有什么规律？,课后作业,5.3 正弦函数的性质,正
20、弦函数的图像和性质,y=sinx (xR),正弦函数定义域,正弦函数值域,xR,y - 1, 1 ,(1)定义域,（2）值域,（3）周期性,y=sinx,y=sinx (xR) 图像关于原点对称,sin(-x)= - sinx (xR),y=sinx (xR),是奇函数,正弦函数图像关于原点 对称,y=sinx (xR),是奇函数,（4）正弦函数的奇偶性,（5）正弦函数的单调性,y=sinx (xR),增区间为 ， 其值从-1增至1, 0 ,-1,0,1,0,-1,减区间为 ， 其值从 1减至-1, +2k, +2k,kZ, +2k, +2k,kZ,例题解析,例1 不通过求值，指出下列各式大于
21、0还是小于0： sin( ) sin( ),解：,又 y=sinx 在 上是增函数,例题解析,例2 求下列函数的单调区间：,(1) y=2sin(-x ),(2) y=3sin(2x),单调增区间为,所以：,解：,单调减区间为,正弦函数的性质,(3) y = -| sinx|,解：,y= -|sinx| 大致图像如下：,减区间为,增区间为,即：,y为增函数,习题1-5A组3,4,5,课后作业,6.1 余弦函数的图像,余弦函数的图像,1. 三角函数是以角(实数)为自变量的函数.,2. 常用画图的方法: 描点法,由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin/2-(-x)=sin(/2+x)可知，
22、y=cosx的图像就是y=sin（/2+x）的图像。从而余弦函数的图像y=cosx的图像可以通过正弦曲线y=sinx向左平移/2个单位长度得到,y=cosx，xR,想一想,y,x,1,-1,o,也可以利用描点法作出余弦函数的图像,(0,1),( ,0),( ,-1),( ,0),五点画图法,五点法,( ,0),余弦曲线,小结,1. 余弦函数曲线,2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系,课堂小结,用“五点法”作下面函数的图像. 1、y=cosx-1, x 0,2 2、y=3cosx, x 0,2,关键是把“五点”找准，并想一想找“五点”有什么规律？,课后作业,6.2 余弦函数的性质,余弦函数
23、的性质,y=cosx (xR),正弦函数定义域,正弦函数值域,xR,y - 1, 1 ,(1)定义域,（2）值域,（3）周期性,（5）余弦函数的单调性,y=cosx (xR),-1,1,1,0,-1,减区间为 0 ， 其值从 1减至-1,增区间为 - 0 其值从-1增至1, -+2k , 2k,kZ,2k , +2k,kZ,例题解析,例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： cos( ) cos( ),解：,又 y=cosx 在 上是增函数,例2 求下列函数y=2cos（-x）的单调区间.,函数在 2k,2k+ ，kZ 上单调递减,习题1-6A组 3,4,5,课后作业,7 正切函数的图
24、像和性质,把y =tanx,xR, 的图像叫做正切曲线；,由 的图像无限接近直线,特征可知，正切曲线是由被相互平行的直线,所隔开的无穷多支曲线组成.,引入新知,正切曲线的简图,请说出正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,定义域：,周期性：,奇偶性：,单调性：,值域:,周期为的周期函数,正切曲线的性质：,实数集R,解：,例题解析,解：定义域：,值域：R 奇偶性：非奇非偶函数,周期性：,例题解析,讨论：,（1）正切函数是整个定义域上的增函数吗？,（2）函数的最小正周期是什么？,例3 求下列函数的周期,解（1） （2）,例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小.,B,反馈训练,
25、C,-1,1,2,奇函数,奇函数,(k,0),(k/2,0),典型练习,解：,1.,典型例题,求函数 的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性；,典型练习,2.,习题1-7A组第1，2题,课后作业,8 y=Asin( x+ )+B的图像,1.列表：,x,例1 作函数 及 的图像.,解：,x,y,O,2,1,2,2,1,y=2sinx,y=sinx,y= sinx,2. 描点、作图：,例1 作函数 及 的图像.,x,y,O,2,1,2,2,1,y=2sinx,y=sinx,y= sinx,x,y,O,2,1,2,2,1,例1 作函数 及 的图像.,x,y,O,2,1,2,2,1,一、函数
26、y=Asinx(A0)的图像,函数y=Asinx (A 0且A1)的图像可以看作是把 y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长 (当A1时)或缩短(当0A1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. y=Asinx ，xR的值域为-A, A，最大值为A，最小值为-A.,总结概括：函数y=Asinx(A0)的图像,练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：,1. 列表：,例2 作函数 及 的图像.,2. 描点：,1. 列表：,2. 描点：,二、函数y=sinx(0)图像,函数y=sinx ( 0且1)的图像可以看作是把 y=sinx 的图像上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时
27、) 到原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的。,练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：,总结概括：函数y=sinx(0)图像,x,O,2,1,1,3,4,法一：,法一：,法二：,例3 作函数 及 的图像.,x,y,三、函数y=sin(x+)图像,函数y=sin(x+) 的图像可以看作是把 y=sinx 的图像上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平移|个单位而得到的.,总结概括：函数y=sin(x+)图像,例4作函数 及 的图像.,x,四、函数y=sin(x+)与y=sinx图像的关系,总结概括：函数y=sin(x+)与y=sinx图像的关系,函数y=sin(x+) 的图像可以看作是
28、把 y=sinx 的图像上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平移| |个单位而得到的.,例5 作函数 及 的图像.,x,y,课后作业：,1、习题1-8 A组2，3，4,2、预习三角函数的简单应用,9三角函数的简单应用,（2）所求解析式为,例题解析,例2 画出函数 的图像并观察其周期,例题解析,拓展：,例2 画出函数 的图像并观察其周期,例2 画出函数 的图像并观察其周期,拓展：,函数,的周期是,例2 画出函数 的图像并观察其周期,拓展：,例3 画出函数 的图像并观察其周期,的图像及性质,例题解析,例4 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况
29、下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：,例题解析,（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001）（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？,例题解析,（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中
30、画出散点图，根据图像，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图像可以得出：,A=2.5, h=5, T=12, =0;,由 ，得,解：,由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：,所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：,例题解析,（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 (米)，所以当y5.5时就可以进港.令化简得,由计算器计算可得,解得,因为 ，所以由函数周期性易得,解：,例题解析,因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.,例题解析,解：,（3）设在时
31、刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x2),在同一坐标系内作出这两个函数的图像，可以看到在6时到7时之间两个函数图像有一个交点.,通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.,习题1-9 A组 1，2，3,课后作业,1向量的概念,例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向正 东追去.,问：猫能否追到老鼠？为什么？,结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.,引例,请各举出几个只有大小
32、和既有大小又有方向的量,一、向量的定义,既有大小又有方向的量叫做向量.,二、向量的表示,1.几何表示:用有向线段表示.,2.用小写字母表示.,注意:印刷体与手写的区别,3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.,引入新知,思考：把所有单位向量的起点集中于一点o，问它们终点的轨迹是什么？,答：如图：轨迹是以o为圆心，半径为1的圆.,三、相关概念,引入新知,（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.,平行向量也叫共线向量.,规定:零向量与任一向量平行.,引入新知,（5）相等向量:长度相等，方向相同的两个向量.,四、例题,例题解析,例2：下列命题正确的是：,（1）共线向量都相等. （
33、2）单位向量都相等.（3）平行向量不一定是共线向量.（4）零向量与任一向量平行.,引入新知,1.下列说法正确的是 ( ) A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量是 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量,B,课堂练习,例题解析,相等的有7个长度相等的有15个,想一想,1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:,既有大小又有方向的量,1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母,长度为零的向量,长度为1个单位的向量,1.方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行,长度相等且方向相同的向量,平行
34、向量就是共线向量,课堂小结：,习题2-1 3、4,课后作业,2.1 向量的加法,问题背景,由于大陆和台湾没有直航，因此春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？,台北,香港,上海,物理上有力的合成，速度的合成，这些都是向量加法的背景.,问题背景,一、向量的加法的三角形法则,想一想,1、利用三角形法则，如何作出共线向量（即平行向量）的和？,二、向量加法平行四边形法则,例题解析,思考,三、向量加法满足的运算律,例2 如图，一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 ，求船实际航行的速度的大小与方向.,解：设 表示船垂直于对岸的速度， 表示 表示水
35、流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则 就是船实际航行的速度在 中， ， ，所以因为,例题解析,（1）一架飞机向西飞行 然后改变方向向南飞行 ,则飞机两次位移的和为 ,向西南方向飞行,（2） 一定成立吗？,不一定,（3）在四边形ABCD中， ,课内练习,课后思考：,例题解析,小结与回顾,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,习题2-2 A 组 2、3,课后作业,2.2 向量的减法,一个物理背景,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,减法运算的定义,思考？,规
36、定：零向量的相反向量仍是零向量.,想一想,例题讲解,例题解析,C,例题解析,例题解析,课内练习,思考： 任意一个非零向量是否可以表示为两个不共线的向量的和？它还可以表示为两个不共线的向量的差吗？,想一想,习题2-2 A组 第4、5、6题,课后作业,3 从速度的倍数到数乘向量,实际背景,探究：,一、向量的数乘运算的定义：,=,向量的数乘运算满足如下运算律：,例题解析,0,),(,4,),2,(,2,),(,3,),2,(,);,2,4,3,(,3,),3,6,2,2,1,b,a,x,a,x,a,x,c,b,a,c,b,a,已知,（,）,（,练习：计算：,=,+,-,-,-,+,+,-,+,-,-
37、,-,+,共线向量的充要条件：,向量共线定理：,引入新知, 与 共线,解：,例题解析,习题2-3 A组1-7,4 平面向量的坐标表示（1）,平面向量的坐标表示,1在平面内有点A和点B，向量 怎样表示？,2平面向量基本定理的内容？什么叫基底？,1 0,0 1,0 0,向量的坐标与什么点的坐标有关？每一平面向量的坐标表示是否唯一的？两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）,学生讨论,由a 唯一确定,2点A的坐标与向量a 的坐标的关系？,两者相同,概念理解,3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？,例题解析,例1如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并求它们的坐标,解：由图可
38、知,同理，,平面向量的坐标运算,1.已知a ，b ，求a+b，a-b,a+b=( i + j ) + ( i + j ),=（ + )i+（ + )j,即,同理可得,两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差,解：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标,平面向量的坐标运算,例题解析,例2 已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标,a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；,3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）,
39、例题解析,解：设顶点D的坐标为（x，y）,例3 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（ 1，3）、（3，4），求顶点D的坐标,1若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= (-8, 1)=(-4, ) P点坐标为(-1, - ) 2若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2=(-3,-3) 3已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形. 解： =(-2, 3) =(-4, 6) =2 且 | | | | 四边形ABCD是梯形
40、,巩固深化，发展思维,学习小结 （学生总结，其它学生补充）向量加法运算的坐标表示.向量减法运算的坐标表示.,课堂小结,习题2-4 A组第1,2,3,4题,课后作业,4 平面向量的坐标表示（2）,设a=(x1,y1),b=(x2, y2),其中b是非零向量,那么可以知道，a/b的充要条件是存在一实数，使 a=b这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= (x2，y2) 即 x1= x2 y1= y2,问题：共线向量如何用坐标来表示呢？,消去后得 也就是说，a/b(b0)的充要条件是,x1y2-x2y1=0,x1y2-x2y1=0,例1 已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断
41、 A、B、C三点的位置关系.,解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点,观察图形，我们猜想A，B，C三点共线., 直线AB、直线AC有公共点A，, A、B、C三点共线.,1.练习1-52.已知,3已知点A(0,1) ,B(1,0) ,C(1,2), D(2,1) 求证：ABCD4证明下列各组点共线： A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5) P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6),课内练习,学习小结 （学生总结，其它学生补充）向量加法运算的坐标表示.向量减法运算的坐标表示.向量共线的条件,课堂小结,习题24 A组第5，6，7题,课后作业,5 从力做的功到向量的数量积,
42、复习回顾,请同学们回忆物理学中做功的含义，对一般的向量a和b，如何定义这种运算？,1.力做的功：W = |F|s|cos 是F与s的夹角.2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0,3.向量夹角的概念：范围0180.,想一想,一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？,其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.,向量的夹角,平面向量的数量积的定义,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.,（3）a b不能写成ab ，ab 表示向
43、量的另一种运算,（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合,例题讲解,例 已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ，求a b.,解： a b =|a | |b |cos,| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影,为锐角时，| b | cos0,为钝角时，| b | cos0,为直角时，| b | cos=0,讨论总结性质：,（1）e a=a e=| a | cos,（2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据),（3）当a 与b 同向时，a b =| a | | b |，当a 与b 反向时， a b = -| a | | b | 特别地,（4）,（5）a b | a |
44、 | b |,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a= 0 时成立,7对任意向量 a 有,6 平面向量数量积的坐标表示,一、复习引入,我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用,1、平面向量数量积的坐标表示如图， 是x轴上的单位向量， 是y轴上的单位向量，由于 所以,1,1,0,二、新课学习,下面研究怎样用,设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,
45、y2),则,故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即,根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.,2、向量的模和两点间的距离公式,（1）垂直,3、两向量垂直和平行的坐标表示,（2）平行,4、两向量夹角公式的坐标运算,三、基本技能的形成与巩固,例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.,例题解析,练习2：以原点和点A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.,y,B,A,O,x,四、逆向及综合运用,例3 （1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 .,提高练习,2、已知A(1
46、，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是 .,矩形,3、已知 = (1，2)， = (-3，2)，若k +2 与 2 - 4 平行，则k = .,- 1,、理解各公式的正向及逆向运用； 、数量积的运算转化为向量的坐标运算； 、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能.,课堂小结,习题2-6 组3，4，5，6.,课后作业,7 向量应用举例,问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，你能说出平行四边形两条对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,想一
47、想,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.,已知：平行四边形ABCD.求证：,解：设 ，则,例2如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点.,证：设BE、CF交于一点H，,所以,又因为点D在AH的延长线上，所以AD、BE、CF相交于 一点,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；常设基底向量或建立向量坐标.（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如共线、垂直、距离、夹角等问题;（3）把运算结果“翻译”成几何元素.,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,抽象总结,例3 如图，平行四边形 ABC
48、D中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？,猜想：AR=RT=TC,例题讲解,解：设 则,又因为 共线，所以设,因为 所以,由于 与 共线，故设,例题讲解,线，,故AR=RT=TC.,例题讲解,练习1、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只需证向量 ，即 .,解：设 则 ，由此可得：,即 ，得 ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,课内练习,2平行四边形ABCD中,E为AB的中点,用向量方法,求EF:FD. (可选 为基底),简解:设,又因为A、F、C共线，可设,由向量相等知识得,
49、所以EF：FD=1：2,通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具. 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.,本课小结,习题2-7 A组 第1、2、3、4题,课后作业,1 同角三角函数的基本关系式,计算:,同角三角函数的基本关系式:,即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.,同角三角函数的基本关系式:,即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.,解：,例1 已知 ， 在第三象限， 求 的值.,因为 在第三象限，,例题讲解
50、,例2 已知 ，求 的值,解：,所以 是第一或第四象限的角,当 是第一象限的角时，,当 是第四象限的角时，,例3 已知 ，求 的值,解：,又,当 是第一、四象限；,当 是第二、三象限；,当 是第一、四象限；,当 是第二、三象限；,例4 已知 ，求 的值,原式的分子、分母同除以 ，得,原式,例题讲解,例5 化简：,解：因为,所以，原式,例题讲解,例6 化简：,解：因为,例题讲解,例7 求证：,证明：,例题讲解,小结：,同角三角函数的基本关系式:,课堂小结,习题3-1 A组 1-6,课后作业,2 两角和与差的三角函数（1）,两角和与差的余弦公式,1、两点间的距离公式,两角和与差的余弦公式,2、两角
