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1、第二节 中心极限定理,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,一、问题的引入,1：背景：大量、独立、随机因素的综合影响P121例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差.,偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大.,2: 随即变量的标准化变量。教材P101例1。,3、“随机变量之和的标准化变量”“服从中心极限定理”,近似N(0,1),二、基本定理,定理1（独立同分布的中心极限定理 Lindeberg-Le
2、vy）,近似N(0,1),定理1表明:,李雅普诺夫资料,Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,Born: 6 June 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov 1918 in Odessa, Russia,定理2(李雅普诺夫定理 Lyapunov),则随机变量之和的标准化变量,近似N(0,1),定理2 表明:,(如实例中射击偏差服从正态分布),德莫佛资料,Abraham de Moivre,Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in Londo
3、n, England,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France,TH1 推论(De MoivreLaplace 定理3),近似N(0,1),证明,设,由TH1得证,应用：,三、题型1总结P126 2,5,6,7, 12,14,1、题目背景中都有：“总和”、“总额”、“平均”,2、设独立同分布的X1,X2,X3,Xn,求E(Xi)，D(Xi),解,由定理1,例1,2、,1、,近似服从N(0,1),3
4、、,4、,对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. 求参加会议的家长数X超过450的概率。,解,例2,1、,2、,根据TH1独立同分布的中心极限定理,2、,3、,4、,（题型2总结）,1、题目背景中有n重伯努利试验,2、设A发生的次数Xb（n,p）, 求出p，E(X)=np，D(X)=npq,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击,
5、 问其中有2950030500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为X,例3,1、n重Bernouli,2、,3、,所求概率为,4、,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 X 为一年中投保人死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,例4,公司亏本的概率:,四、小结,三个中心极限定理,Lindeberg-Levy中心极限定理,李雅普诺夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,证,例5,根据独立同分布的中心极限定理,例6,某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：,设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：,即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,
