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1、4.1.1 圆的标准方程,复习引入,探究新知,应用举例,课堂小结,课后作业,复习引入,问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？,圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小,问题2：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？,x,y,O,C,M(x,y),(x-a)2+(y-b)2=r2,三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.,设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。,问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M
2、在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上,想一想?,x,y,O,C,M(x,y),圆心C(a,b),半径r,特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：,标准方程,知识点一：圆的标准方程,1.说出下列圆的方程： (1)圆心在点C(3, -4), 半径为7.(2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).,2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36,(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0,(3) (x a)2 + y 2 = m2,特殊位置的圆的方程:,圆心在原点:,x2 + y2 = r2 (r0),圆心在x轴
3、上:,(x a)2 + y2 = r2 (r0),圆心在y轴上:,x2+ (y b)2 = r2 (r0),圆过原点:,(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b0),圆心在x轴上且过原点:,(x a)2 + y2 = a2 (a0),圆心在y轴上且过原点:,x 2 + (y-b)2 = b2 (b0),圆与x轴相切:,(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b20),圆与y轴相切:,(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a0),圆与x,y轴都相切:,(x a)2 + (ya)2 = a2 (a0),例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个
4、圆上。,解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：,把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；,典型例题,把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上,.,9,跟踪训练已知两点M(3,8)和N(5,2)(1)求以MN为直径的圆C的方程；(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？,知识探究二：点与圆的位置关系,探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？,M,O,|OM|r,|OM|=r,O,M,O,M,|OM|r,点在圆内,点在圆上,点在圆外,(x0-a)2+(y0
5、-b)2r2;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.,点与圆的位置关系:,知识点二：点与圆的位置关系,待定系数法,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,例2 ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。,例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1
6、=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,圆经过A(1,1),B(2,-2),解2:设圆C的方程为,圆心在直线l:x-y+1=0上,待定系数法,解:A(1,1),B(2,-2),例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,即：x-3y-3=0,圆心C(-3,-2),练习,2.根据下列条件，求圆的方程：（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。,1
7、.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围.,例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一 点 的切线的方程。,解:,.,17,如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？【分析】建立坐标系求解,.,18,【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示,.,19,设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，2)设圆的半径为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标(6，2)代入方程得36(r2)2r2，r10.,.,20,
8、【点评】本题是用解析法解决实际问题,.,21,跟踪训练3 如图(1)所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度AB20 m，拱高OP4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱CD的高度(精确到0.01 m),.,22,解：建立图(2)所示的直角坐标系，则圆心在y轴上设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2(yb)2r2.下面用待定系数法求b和r的值因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解于是得到方程组,.,23,1.圆的标准方程,（圆心C(a,b),半径r）,2.点与圆的位置关系,3.求圆的标准方程的方法： 待定系数法 几何法,小结,
