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1、4.4 非线性校正算法,.4非线性校正算法,校正的目的从/D转换的数据x，求出被测量的真值y，称为标定或校正。,传感器,A/D,标定,x,z,y,X由A/D送入微机的原始测量数据，Y被测量的“真值”，Z经过“校正”处理后，微机输出给显示器或控制器的数据,本节讨论在 y=f(x)公式复杂和y=f(x)只有离散数据两种情况下，由A/D转换结果x求取显示数据z(要求z=y或误差在允许范围之内即zy)的方法,常用的校正算法：查表法插值法拟合法,离散数据的获得,标定实验在规定的实验条件下，给测试系统的输入端逐次加入一个个已知的标准的被测量y1,y2yn，并记下对应的输出读数(A/D转换结果)x1,x2x
2、n。这样就获得n对输入/输出数据(xi,yi)，(i=1,2n)这些“标定”数据就是y=f(x)的离散方式描述。,4.4.1 查表法,查表法就是将“标定”试验获得的n对数据（ , ）(i=1,2,.n)在内存中建立一张输入/输出数据表，再根据A/D数据x通过查这个表查的y，并将查得的y作为显示数据z。具体步骤如下：（1）在系统的输入端逐次加入一个个已知的标准被测量 ，并记下对应的输出读数 。（2）把标准输入 （i=1,2.n)值存储在存储器的某一单元，把 作为存储器中这个存储单元的地址，把对应的 值作为该单元的存储内容，这样就在存储器里面建立一张标定数据表。,(3)实际测量时，让微机根据输出读
3、数 去访问该存储地址，读出该地址中存储的 即为对应的被测量的真值，将从表中查得的 作为显示数据 z ，应该说是不存在误差的。(4)若实际测量的输出数据x是在 和 之间，可按最邻近的一个标准读数 或 去查找对应的 或 作为被测量的近似值，很显然这个结果有一定的误差，可以用线性内插进行修正，即按照下式子计算出要显示的数据,查表法优点 1）不需要进行计算或只需简单的计算； 2）Zi=yi为标定数据，不存在误差。查表法缺点 需要在整个测量范围内标定实验测得很多的测试数据。,4.4.2 插值法,一、插值函数和插值点：插值法是从标定或校准实验的n对测定数(xi,yi)(i=1,2,n)中，求得一个函数 作
4、为实际的输出读数x与被测量真值y的函数关系 的近似表达式。这个表达式 必须满足两个条件：第一， 的表达式比较简单，便于计算机处理。故一般为多项式。第二，在所有选定的校准点(也称插值点) 上满足： 满足上式的 称为 的插值函数。插值点实际上就是 和 的相交点。,二、插值函数的常见形式及其求解,1.插值函数的常见形式 m次多项式： 2. 插值函数多项式系数的确定从标定数据中选取 (m+1)组数据作为插值点，解以下(m+1) 元方程组可求得(m+1) 个多项式系数 一般来说，阶数m越高，逼近 f(x) 的精度越高，但阶数越高，计算越繁冗，计算时间也会增加，故拟合多项式的阶数一般不超过三阶。,例，已知
5、热敏电阻的阻值R(k)与温度t()的关系式如表4-5-1所示,三、线性插值,线性插值是从一组数据（xi，yi）中选取两个代表性的（x0，y0）、（x1，y1），然后根据插值原理，求出插值方程 ：其中：,若（x0，y0）、（x1，y1），取在非线性特性曲线f(x)或数组的两端点A、B，如下图中的直线表示插值方程，这种线性插值就是最常用的直线方程校正法,表示拟合误差，如果对于所有的x的取值都满足为允许的拟合误差，则直线方程 就是理想的校正方程。 显然，如果对于非线性比较严重或测量范围比较宽的非线性特性，采用一种直线方程进行校正很难满足仪表的精度要求。故线性插值,4.4.2.1 等距节点分段直线校正
6、发,等距节点算法适用于非线性特性曲率变化不大的场合，每段曲线都用一个直线方程代替。分段数n取决于非线性程度和仪表的精度要求。精度越高，n越大。每段直线的方程为因为每段的拟合误差 一般都不同，拟合结果应保证所求的 存入内部ROM中。实时测量时只要选用程序判断输入x位于折线的哪一段，然后取得该段对应的 进行计算。程序如下,4.4.2.2 非等距节点分段直线校正法,对于曲率变化较大的分线性特性，若要满足精度要求，分段数n就会变得很大，同时 的数目也会增加，占用内存增加，故这时宜采用非等距节点分段直线校正法,非等距节点分段直线插值,四、抛物线插值,如图所示将曲线分成四段，每一段都可以用一个二阶抛物线方
7、程 来描绘。其中，抛物线的系数 可通过下述方法获得：每一段找出三点 （含两端点）联立方程可以求出,分段插值流程图,4.4.3 拟合法,一、最小二乘法 利用n次多项式进行拟合，可以保证在n+1个节点上校正误差为零，因为拟合曲线折线恰好经过这些节点。但是，如果这些实验数据有随机误差，得到得校正方程并不一定能反映出实际的函数关系。因此，对于含有随机误差得实验数据的拟合，通常选择误差平方和的最小这一标准来衡量逼近结果，这就是最小二乘法原理。,设被逼近函数为f(xi)，逼近函数为g(xi), xi为x上的离散点，逼近误差为 ：,记为 ：,实现；为了使逼近函数简单起见，通常选择多项式。,最小二乘法原理：,
8、min,二、直线拟合,设有一组实验数据如下图所示，现在要求一条最接近于这些数据点得直线。直线可有很多，关键是找一条最佳直线。设这组实验数据的最佳拟合方程为：y = a1 x + a0，式中，a1和a0称为回归系数。,令 ：,根据最小二乘原理，要使a0，a1为最小，对a0，a1求偏导，令其为0，可得 ：,解得：,将各测量数据代入方程组，即可解得回归方程的回归系数a0和a1，从而得到这组测量数据在最小二乘意义上的最佳拟合直线方程。,三、曲线拟合,为了提高拟合精度，通常对n个实验数据对（xi，yi）选用m次多项式 ：,来作为描述这些数据的近似函数关系式（回归方程）。若把（xi，yi）的数据代入多项式
9、就可得n个方程简记为：,式中，Vi为在xi处由回归方程计算得到的值与测量得到的值之间的误差。根据最小二乘原理，为求取系数aj的最佳估计值，应使误差Vi的平方之和最小，即：,由此可得如下方程组：,计算a0，a1，am的线性方程组为 ：,由上式可求得m+1个未知数aj的最佳估计值。,四、最佳一致逼近法,插值法要求逼近函数z=(x)与被逼近函数y=f(x)在节点上有相同的函数值，而在非节点处(x)就不一定保证很好的逼近函数f(x) ,而实际问题上要求在整个测量区间上都能够很好的逼近f(x),针对这种情况，我们可以采用最佳一致逼近法。 最佳一致逼近就是保证 f(x)与(x)之间的最大误差小于给定精度 ，既保证不等式成立,线性最佳一致逼近法,分段线性最佳一致逼近,分段最佳一致逼近法,谢谢！,
