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1、4.4 非线性校正算法,.4非线性校正算法,校正的目的从/D转换的数据x,求出被测量的真值y,称为标定或校正。,传感器,A/D,标定,x,z,y,X由A/D送入微机的原始测量数据,Y被测量的“真值”,Z经过“校正”处理后,微机输出给显示器或控制器的数据,本节讨论在 y=f(x)公式复杂和y=f(x)只有离散数据两种情况下,由A/D转换结果x求取显示数据z(要求z=y或误差在允许范围之内即zy)的方法,常用的校正算法:查表法插值法拟合法,离散数据的获得,标定实验在规定的实验条件下,给测试系统的输入端逐次加入一个个已知的标准的被测量y1,y2yn,并记下对应的输出读数(A/D转换结果)x1,x2x
2、n。这样就获得n对输入/输出数据(xi,yi),(i=1,2n)这些“标定”数据就是y=f(x)的离散方式描述。,4.4.1 查表法,查表法就是将“标定”试验获得的n对数据( , )(i=1,2,.n)在内存中建立一张输入/输出数据表,再根据A/D数据x通过查这个表查的y,并将查得的y作为显示数据z。具体步骤如下:(1)在系统的输入端逐次加入一个个已知的标准被测量 ,并记下对应的输出读数 。(2)把标准输入 (i=1,2.n)值存储在存储器的某一单元,把 作为存储器中这个存储单元的地址,把对应的 值作为该单元的存储内容,这样就在存储器里面建立一张标定数据表。,(3)实际测量时,让微机根据输出读
3、数 去访问该存储地址,读出该地址中存储的 即为对应的被测量的真值,将从表中查得的 作为显示数据 z ,应该说是不存在误差的。(4)若实际测量的输出数据x是在 和 之间,可按最邻近的一个标准读数 或 去查找对应的 或 作为被测量的近似值,很显然这个结果有一定的误差,可以用线性内插进行修正,即按照下式子计算出要显示的数据,查表法优点 1)不需要进行计算或只需简单的计算; 2)Zi=yi为标定数据,不存在误差。查表法缺点 需要在整个测量范围内标定实验测得很多的测试数据。,4.4.2 插值法,一、插值函数和插值点:插值法是从标定或校准实验的n对测定数(xi,yi)(i=1,2,n)中,求得一个函数 作
4、为实际的输出读数x与被测量真值y的函数关系 的近似表达式。这个表达式 必须满足两个条件:第一, 的表达式比较简单,便于计算机处理。故一般为多项式。第二,在所有选定的校准点(也称插值点) 上满足: 满足上式的 称为 的插值函数。插值点实际上就是 和 的相交点。,二、插值函数的常见形式及其求解,1.插值函数的常见形式 m次多项式: 2. 插值函数多项式系数的确定从标定数据中选取 (m+1)组数据作为插值点,解以下(m+1) 元方程组可求得(m+1) 个多项式系数 一般来说,阶数m越高,逼近 f(x) 的精度越高,但阶数越高,计算越繁冗,计算时间也会增加,故拟合多项式的阶数一般不超过三阶。,例,已知
5、热敏电阻的阻值R(k)与温度t()的关系式如表4-5-1所示,三、线性插值,线性插值是从一组数据(xi,yi)中选取两个代表性的(x0,y0)、(x1,y1),然后根据插值原理,求出插值方程 :其中:,若(x0,y0)、(x1,y1),取在非线性特性曲线f(x)或数组的两端点A、B,如下图中的直线表示插值方程,这种线性插值就是最常用的直线方程校正法,表示拟合误差,如果对于所有的x的取值都满足为允许的拟合误差,则直线方程 就是理想的校正方程。 显然,如果对于非线性比较严重或测量范围比较宽的非线性特性,采用一种直线方程进行校正很难满足仪表的精度要求。故线性插值,4.4.2.1 等距节点分段直线校正
6、发,等距节点算法适用于非线性特性曲率变化不大的场合,每段曲线都用一个直线方程代替。分段数n取决于非线性程度和仪表的精度要求。精度越高,n越大。每段直线的方程为因为每段的拟合误差 一般都不同,拟合结果应保证所求的 存入内部ROM中。实时测量时只要选用程序判断输入x位于折线的哪一段,然后取得该段对应的 进行计算。程序如下,4.4.2.2 非等距节点分段直线校正法,对于曲率变化较大的分线性特性,若要满足精度要求,分段数n就会变得很大,同时 的数目也会增加,占用内存增加,故这时宜采用非等距节点分段直线校正法,非等距节点分段直线插值,四、抛物线插值,如图所示将曲线分成四段,每一段都可以用一个二阶抛物线方
7、程 来描绘。其中,抛物线的系数 可通过下述方法获得:每一段找出三点 (含两端点)联立方程可以求出,分段插值流程图,4.4.3 拟合法,一、最小二乘法 利用n次多项式进行拟合,可以保证在n+1个节点上校正误差为零,因为拟合曲线折线恰好经过这些节点。但是,如果这些实验数据有随机误差,得到得校正方程并不一定能反映出实际的函数关系。因此,对于含有随机误差得实验数据的拟合,通常选择误差平方和的最小这一标准来衡量逼近结果,这就是最小二乘法原理。,设被逼近函数为f(xi),逼近函数为g(xi), xi为x上的离散点,逼近误差为 :,记为 :,实现;为了使逼近函数简单起见,通常选择多项式。,最小二乘法原理:,
8、min,二、直线拟合,设有一组实验数据如下图所示,现在要求一条最接近于这些数据点得直线。直线可有很多,关键是找一条最佳直线。设这组实验数据的最佳拟合方程为:y = a1 x + a0,式中,a1和a0称为回归系数。,令 :,根据最小二乘原理,要使a0,a1为最小,对a0,a1求偏导,令其为0,可得 :,解得:,将各测量数据代入方程组,即可解得回归方程的回归系数a0和a1,从而得到这组测量数据在最小二乘意义上的最佳拟合直线方程。,三、曲线拟合,为了提高拟合精度,通常对n个实验数据对(xi,yi)选用m次多项式 :,来作为描述这些数据的近似函数关系式(回归方程)。若把(xi,yi)的数据代入多项式
9、就可得n个方程简记为:,式中,Vi为在xi处由回归方程计算得到的值与测量得到的值之间的误差。根据最小二乘原理,为求取系数aj的最佳估计值,应使误差Vi的平方之和最小,即:,由此可得如下方程组:,计算a0,a1,am的线性方程组为 :,由上式可求得m+1个未知数aj的最佳估计值。,四、最佳一致逼近法,插值法要求逼近函数z=(x)与被逼近函数y=f(x)在节点上有相同的函数值,而在非节点处(x)就不一定保证很好的逼近函数f(x) ,而实际问题上要求在整个测量区间上都能够很好的逼近f(x),针对这种情况,我们可以采用最佳一致逼近法。 最佳一致逼近就是保证 f(x)与(x)之间的最大误差小于给定精度 ,既保证不等式成立,线性最佳一致逼近法,分段线性最佳一致逼近,分段最佳一致逼近法,谢谢!,