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1、为X的分布函数(c.d.f.). 也常记为,设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数,一、定义,注用分布函数计算X落在(a,b里的概率：,2.3、随机变量的分布函数及其性质,1,定理1.（分布函数的特征性质）,(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即,(3)(右连续性) F ( x ) 右连续，即,(2)(有界性),即F(+)=1,F(-)=0.,2,证明 （1）,（2）,3,（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一,4,用分布函数表示概率,5,注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为：F ( x )满足上述三条性质。,注1 分布函数也可定义为,应改为左连续性。
2、,这样定义的分布函数仍满足性质13，但性质3,例 F(x), G(x)为两个分布函数,为一分布函数。,证明,6,例1 设离散型随机变量X的概率分布为,（1）求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形；,（2）求,二、举例,7,解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故,当x0时,当0 x1时,当1x2时,当2x时,从而归纳上述结果得,8,或,9,满足分布函数的三条基本性质。,一般地，若离散型随机变量X的分布律为,从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，,10,称为单位阶梯函数，,也称为Heavyside函数。,则其分布函数为,11,值得注意的是, F(x)是(-,+ )上的分
3、段阶梯函数,开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间.,间断点就是随机变量X的取值点, 除最左边那段是,特别地，若随机变量以概率1取常数，即,则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为,12,例2 向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求X的分布函数.,解 当 x0时,当0 x1, 可得,其中k为比例常数, 又因为P0X 1=1, 故k =1.,当x1时,13,综上所述, X的分布函数为,14,总结,一、定义,二、举例,若离散型随机变量X的分布律为,则其分布函数为,称为单位阶梯函数.,15,
