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1、复数的三角形式,1,t课件,复习引入新课：,o,x,y,a,b,Z（a，b）,r,复数的表示的三种方法：,代数式a+bi,点z（a，b）,向量oz,Z=a+bi所对应的向量oz,a为复数的实部 b为复数的虚部,r=a2+b2 为复数的模,2,t课件,r,a,b,复数辐角的概念：,以x轴的正半轴为始边，向量oz所在的射线为终边的角，,X,O,Y,Z(a,b),3,t课件,r,a,b,（二）复数的三角形式：,当a=rCos b=rSin,a+bi=rCos+iSin,= r（Cos+iSin ）,则z=r（Cos+Sin）为复数的三角形式。,X,Y,Z(a,b),O,4,t课件,复数的三角形式条件
2、：,Z= （ i ）,r0。,加号连接。,Cos在前，Sin在后。,前后一致，可任意值。,r,Cos,Sin,+,5,t课件,例1：把下列复数代数式化成三角式：,6,t课件,想一想：代数式化三角式的步骤,（1）先求复数的模,（2）决定辐角所在的象限,（3）根据象限求出辐角,（4）求出复数三角式。,小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。,7,t课件,例2：将下列复数化为三角形式；,8,t课件,(1)6(cos0+isin 0),(2)5(cos+isin),把下列复数化成三角形式：（1）6 （2）-5 （3）2i（4）-I （5）-
3、2+2i,解,（四）练习：,9,t课件,例3求复Z=1+cos+isin(2)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.,10,t课件,11,t课件,12,t课件,复数的三角形式,这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。,所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。,1、复数的乘法,设,那么,13,t课件,复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,1、复数的乘法,这说明，两个复数相乘等于它们的
4、模相乘而幅角相加,即,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角2，就得到z1z2。,14,t课件,复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2、复数的除法,15,t课件,复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2、复数的除法,即,这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角2，就得到z1z2。,将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角n，就得到zn。,3、复数的乘方。,这个运算在几何上可以用下面的方
5、法进行：,16,t课件,4、复数的开方,那么,所以,即,显然，当k从0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。,因此，复数z的n个n次方根为,设 的一个n次方根为,17,t课件,4、复数的开方,复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差,所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的n次算术根为半径的圆周上。,因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行：,先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边,以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每个等分点对应的复数就是
6、复数z的n次方根。,18,t课件,复数的指数形式,在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加）,这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：,对数函数与指数函数,前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。,从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：,19,t课件,复数的指数形式,根据这个特点，复数 应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成 的形式,这里有三个问题需要解决：,（1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角、虚数单位i应各自摆放在什么位置？,（2）在这些位置上
7、它们应呈现什么形态？,（3）作为指数形式的底应该用什么常数？,先来研究第一个问题.,20,t课件,复数的指数形式,再重新观察下面的等式,首先，显然模r应该占据 中系数y的位置,其次，幅角应该占据 中指数x的位置,对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？,由于,等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。,因此幅角也应该占据指数的位置。,这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）,21,t课件,复数的指数形式,幅角与虚数单位i是相加的关系会怎样？,先考察模为1的复数,如果写成 的形式,一方面，由于,与 的形式差别不是很大，,其次,在复数的乘方法则中，应
8、该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系,现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合,22,t课件,复数的指数形式,乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征,从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化,23,t课件,复数的指数形式,由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：,这两个公式被统称为欧拉公式,在复数的指数形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,或,24,t课件,二、复数三角形式的乘法和除法,乘法法则：模相乘， 幅角相加。,除法法则：模相除，幅角相减。,25,t课件,
