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1、,三、微分运算法则,四、微分在近似计算中的应用,二、微分的几何意义,第七节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,1,t课件,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,t课件,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回
2、结束,3,t课件,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,(4)当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,t课件,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,t课件,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,t课件,二、微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回
3、 结束,7,t课件,例如, 求,基本初等函数的微分公式 (见 P136表),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,t课件,三、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,t课件,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,t课件,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 数学中的
4、反问题往往出现多值性.,11,t课件,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,12,t课件,四、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,t课件,例4. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,t课件,的近似值 .,解: 设,取,则,例5. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结
5、束,15,t课件,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,t课件,的近似值 .,解:,例6. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,t课件,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,t课件,思考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,t课件,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,t课件,导数与微分的区别:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,t课件,练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,t课件,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,t课件,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P142 1 -10复习题 一、1，2；二、1 6；8,24,t课件,
