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1、第5章 刚体的转动,刚体 rigid body ：在外力（无论多大）作用下，形状和大小都不发生变化的物体。,1、刚体运动时，各质元之间的相对距离保持不变。,2、刚体是一种理想模型。视作特殊质点组。,一、刚体的平动,刚体运动时，体内任意两点连线的方向始终保持不变。,平动的特点：,1) 刚体中各质点的运动情况相同,2) 刚体的平动可归结为质点运动,实际: 对质心有“质心运动定理”,5.1 刚体运动的描述,二、刚体的定轴转动,当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动。,若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的转动称为定轴转动。,特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。刚
2、体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律。,刚体的一般运动,质心的平动,绕质心的转动,+,三、刚体定轴转动的描述1. 各点都在自己的转动平面内作圆周运动,描述的物理量,刚体上某点的线量与角量的关系：,对刚体不存在整体的线速度！,就是刚体转动的角位置、 、角加速度,2. 各点转动的半径不同 线速度不同,r,v,解：,1、在刚体定轴转动中，角速度和角加速度均沿轴向。其指向可用正负表示。,说 明,3、角加速度的方向与角速度增量的方向一致，当与同号时，加速转动； 与异号时，减速转动。,4、刚体定轴匀变速转动方程,一、转动定律,刚体内任一质元 i，其转动半径为ri , 所受合外力为Fi，,
3、刚体对轴 的转动惯量,5.2 刚体定轴转动的运动定律,即：,内力为 fi,刚体定轴转动的转动定律,该转动定律在刚体定轴转动问题中的地位相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位,应用转动定律解题步骤与用牛顿第二定律时相同。,刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积,刚体的重力矩等于刚体全部质量集中于质心时所产生的重力矩.,重力矩大小：,细杆质量m, 长L,Notes:,方向与角加速度 方向一致为正，相反为负.,例：几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体(A)必然不会转动(B)转速必然不变(C)转
4、速必然改变(D)转速可能不变，也可能改变,答案： (D),若矢量和不为零，结果？,思考,二、转动惯量（moment of inertia） 反映刚体转动惯性大小的物理量。 1.定义：,例：如图,对于质量连续分布的刚体,：质量线密度,：质量面密度,：质量体密度,1）总质量m 越大，J 越大;,2）质量分布离轴越远，J 越大；,3）轴位置不同，J 不同。,2. 决定刚体转动惯量的因素：,3. 平行轴定理（parallel axis theorem ）,C点是刚体的质心,M,L,例：有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B，A环的质量分布均匀，B环不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为
5、JA和JB，则,(A)JAJB (B)JAJB,(C)JA=JB (D)不能确定,答案： (C),若是两个圆盘呢？,思考,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,思 考,【例】已知圆盘转动惯量J，初角速度0阻力矩M=-k (k为正的常量)求:角速度从0变为0/2所需的时间,解：,转动定律：,【例】飞轮转动惯量J，初角速度0，阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k(k为正的常量)求：当=0/3时，角加速度=？从开始制动到=0/3时所转过的角度,解：,按题意 M=-k2,转动定律：,思考,所经过的时间?,解：以m1 、m2和弹簧、地球为研究系统，施加压力F时，弹簧被压
6、缩x0，由平衡条件得,撤F后，m2离开地面的条件为:,系统机械能守恒,例习4.3 用弹簧连接两个木板m1、m2 ，弹簧压缩。,求: 给m1上加多大的压力能使m2 离开桌面？,三. 转动定律的应用,解题要点,3 ) 滑轮转动的角加速度,例5.1 已知:定滑轮,解:受力图,轻绳 不伸长 无相对滑动,求：1）物体加速度a,2）绳子的张力T,得解。,T1T2,若 M= 0，则T1= T2,讨论：,例5.2 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2分别挂在圆柱体的两侧。求：,
7、1) 柱体转动时的角加速度 ；2) 两侧细绳的张力。,解：,解得,m1, m2的平动方程和柱体转动方程为,T2,T1,T2,T1,m2g,m1g,a2,a1,讨论：(1) 若只求柱体转动的角加速度，可将柱体和m1, m2选作一个系统，系统受的合外力矩M=m1gRm2gr，则根据转动定律可得角加速度为,(2) 若考虑绳与圆柱体的总摩擦力矩为M, 则,以式(5)取代式(3), 再求解即可。,一、角动量定理,质点的角动量定理（对轴）：,刚体：,因各质元对轴的角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加，则,其中,角动量定理,5.3 刚体定轴转动的角动量,刚体 定轴转动的角动量定理,（质点
8、系）,二、角动量守恒定律,角动量守恒定律,刚体对定轴的角动量,或写为,对比质点对定点的动量,微分形式,积分形式,许多现象都可以用角动量守恒来说明,花样滑冰跳水,茹可夫斯基凳,圆锥摆,子弹击入杆,以子弹和杆为系统,机械能不守恒 .,角动量守恒；,动量不守恒？；,以子弹和沙袋为系统,动量守恒；,角动量守恒；,机械能不守恒 .,圆锥摆系统,动量不守恒；,角动量守恒；,机械能守恒 .,关于系统守恒的讨论,子弹击入沙袋,细绳质量不计,非弹性碰撞,例5.3 一杂技演员M由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来。设跷板是匀质的，长度为l，质量为 ，跷板可绕中部支撑点C在
9、竖直平面内转动，演员的质量均为m。假定演员M落在跷板上与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。问演员N可弹起多高?,解 碰撞前 M 落在 A点的速度,碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度,把M、N和跷板作为一个系统,解得,演员 N 以 u 起跳, 达到的高度,mg,mg,N,mg,角动量守恒,一、动能定理,5.4 刚体定轴转动中的能量关系,力矩的功：用角量表示力作的功,(垂直于转轴的截面),2. 刚体定轴转动的动能,3.刚体定轴转动的动能定理,二、重力场中刚体的机械能 系统- 刚体+地球：,转动定律：,转动动能定理：,解：过程1：质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对O点 的合力矩为零,例5.4 质点与质
10、量均匀的细棒相撞(如图),设是完全非弹性碰撞,求：棒摆起的最大角度, 系统对O点的角动量守恒,得,细棒势能,质点势能,过程2：质点、细棒上摆 二者+地球的 系统中只有保守内力（重力）作功，所以机械能守恒。,两式联立得解,以上摆前为势能零点,例5.5 匀质细棒长 l，质量m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面上、质量也为m的物体相撞（物体与地面的摩擦系数为）。撞后，物体沿地面滑行距离s而停止。求相撞后棒的质心离地面的最大高度h。,解 1. 棒摆落过程 棒+地球 外力轴处支承力不做功 机械能守恒,（1）,以竖直时质心位置处为势能零点,3. 撞后物
11、体滑行过程 匀减速直线运动,（3）,（4）,（5）,为正值表示碰后棒向左摆；反之向右摆。,2. 碰撞过程 棒+物体 轴处支承力、重力无力矩 角动量守恒,（2）,棒质心C上升机械能守恒,解得：,例5.6 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为7cm，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k =200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；(2)物体速度达到最大值的位置及最大速率。,解：(1)分析知，机械能守恒, 设物体下落最大距离为h，开始时物体所在位置为重力势能零点，则：,质 量,角动量,动量定理,
12、角动量定理,动量守恒,质点运动与刚体定轴转动对照表,质点运动,刚体定轴转动,转动惯量,力,力矩,第二定律,转动定律,动 量,角动量守恒,力 的 功,力矩的功,动 能,转动动能,动能定理,转动动能定理,习5.1 工程上常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B轮的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,式中为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,解： 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系
13、统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,以各量的数值代入得,习5.2 如图，细棒质量M、长l，,求：任意位置时，轴给棒的作用力。,解：设位置时，棒的角速度为,此时轴给棒的作用力设为Fn、Ft,棒的示力图,(3),联立得解,有：,，,转动定律,习5.3 圆盘质量M,半径R, J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止。求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度,解：,在走动过程中,人-盘系统角动量守恒。,设任意时刻，人对盘: ；盘对地: ,则有,
