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1、微积分初步,导数可应用于求各种变化率，如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题。介绍微分的概念及应用。介绍积分的概念及应用。,1,t课件,1、导数的定义：,2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：,导数的计算,2,t课件,解：（1）求增量：,（2） 算比值：,（3）取极限：,这就是说，常数的导数等于零,1 、求函数 ( c 是常数)的导数。,下面我们求几个常用函数的导数。,2 、求函数 的导数。,解：,3,t课件,在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？,4,t课件,3、 函数 的导数,
2、解：,解：,5,t课件,一般地，可以证明幂函数 ( 是任意实数）的导数公式为,6,t课件,常数的导数等于零,1 、求函数 ( c 是常数)的导数。,下面我们求几个常用函数的导数。,2 、求函数 的导数。,3 函数 的导数,一般地，可以证明幂函数 ( 是任意实数）的导数公式为,(x )= x -1,4 函数 的导数,7,t课件,8,t课件,可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。,导数运算法则,9,t课件,2、熟记运算法则,（1） （C)=0,（2）,( 3),（4）,（7）,（8）,（5）,（6）,1、熟记以下导数公式：,10,t课件,利用函数的导数来研究函数的极值问题:,一般地,当
3、函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.,说明 求函数极值的方法与步骤：,令,分区间讨论,将极值点代入f(x)算出极值。,求,。,，求一阶驻点。,的正负号，确定单调区间,进而确定极值点。,11,t课件,函数的极值:,请注意几点,(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.,(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某
4、区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.,12,t课件,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1).,13,t课件,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 .但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.,14,t课件,二阶导数的应用,曲线凹凸区间的
5、判定,直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方；曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。,x,y,0,x,y,0,a,b,b,a,y=f(x),y=f(x),a图,b图,a图曲线是凹的,切线的倾斜角,为锐角，且由小变大，,是递增的，,则表明,有,递增，反之亦然。这就得到,有f(x)凹；(b）图同理有,，f(x)凸。,曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。,进一步观察曲线凹凸性与切线的关系,15,t课件,例1：求下列函数的导数并画出函数的大致图像：,（4）试证当x0时，有,16,t课件,17,t课件,微分：导数的代数应用,如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点，是导数在几何上
6、的应用，那么这里“微分”则主要是导数在代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函数的近似计算如何求一个函数的改变量？微分的概念及思想设函数y=f(x)的导数存在，即，由极限的概念令，称它为函数f(x)的微分。并记 ，则,18,t课件,例1 求函数的微分解需要注意：(1)微分的意义由于，说明可以用微分求函数的改变量，即这里越小近似程度越好。,19,t课件,如下图所示：MT是y=f(x)在M点的切线微分，当较小时，可用直线MT来近似曲线MP（或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。可见，“以直代曲”是微分的一个基本思想。于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词
7、，意思为“微小的一部分”。,x,0,y,M,P,T,N,x,X+X,y=f(x),(2)微分的思想,20,t课件,(3) 微分的计算由于，因此，“求微分就是求导数”（并且在存在的情况下，可微与可导等价）。于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式与法则，如下表 微分基本公式（略）微分四则运算法则设u、v是x的可导函数，则,21,t课件,例2 在下面的括号中以适当的函数填空： 分析例1求微分是通过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来的函数。方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似的求导公式，然后猜察反推和多次试算。解说明：由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内容，通过求原函数可求不定积分。,2
8、2,t课件,微分的近似计算由得到近似公式：,例3 证明近似公式：证明类似地，可以证明当较小时有下面近似公式,23,t课件,常用等价无穷小 :,24,t课件,设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.,25,t课件,微分学:,积分学:,互逆问题,26,t课件,二、 基本积分表,不定积分的概念和性质,一、原函数与不定积分的概念,三、 不定积分的性质,27,t课件,一、原函数与不定积分的概念,定义1（原函数）,即,都有,或,那么函数,就称为,或,是 在区间 内,的一个原函数.,28,t课件,原函数存在定理：,即 连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数
9、是否唯一？,例,（C为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,都有,29,t课件,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数C，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（C为任意常数）,证（2）,（C为任意常数）,30,t课件,被积函数,定义2（不定积分）,在区间I 内，函数 的带有任意常数项的原函数，称为 在区间I内的不定积分,记为,原函数,31,t课件,例1 求,解,解,例2 求,32,t课件,例3 设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,33,t课件,由不定
10、积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算“互逆”.,微分运算与求不定积分的运算的关系,34,t课件,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,35,t课件,基本积分表,(k是常数);,说明：,36,t课件,37,t课件,38,t课件,例4 求积分,解,根据积分公式,39,t课件,证,等式成立.,（可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,线性性质,为常数）,40,t课件,解,所求曲线方程为,例 已知一曲线,在点,处的切线斜率为,且此曲线与,y轴的交点为,求此曲线的方程.,41,t课
11、件,5.基本积分表(1),4.不定积分的性质（线性性）,1.原函数的概念：,2.不定积分的概念：,3.求微分与求积分的互逆关系,小结,6.利用积分公式求积分,42,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,44,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,45,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,46,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,47,t课件,48,t课件,观察
12、下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,49,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,50,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,51,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,52,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,54,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,55,t课件,观察下列演示过程，注意当分割加
13、细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,56,t课件,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间: 每个小区间宽度x,57,t课件,一、定积分的定义,如果当n时，S 的无限接近某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“
14、四步曲”:分割-近似代替-求和-取极限得到解决.,58,t课件,定积分的定义：,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。,59,t课件,积分下限,积分上限,60,t课件,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义：,61,t课件,1,62,t课件,说明： (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即,63,t课件,(2)定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,64,t课件,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,65,t课件,三: 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,66,t课件,三: 定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,67,t课件,例1,key,key,key,68,t课件,
