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1、第四节 二阶常系数线性微分方程,一、线性微分方程解的性质二、二阶常系数齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解,一、二阶线性微分方程解的性质,(一)定义：,(二)性质：,（一）二阶线性齐次方程解的性质,解的叠加性,此时， 中只含一个任意常数，因此，叠加起来的解不是方程（2）的通解。,（二）二阶线性非齐次微分方程解的性质,注：性质4说明，若非齐次方程的非齐次项由若干 项和组成，那么求解时，可将每个函数作为非齐次项求解，然后将解相加即可。,二、二阶常系数齐次线性方程的解,由性质2知，求方程的(3)的通解，关键在于找到它的两个线性无关的特解。,由于方程(3)关于 具有线性和常系数的特
2、点 ， 因此，所找的函数也应具备这一特点。,称一元二次方程（4）为微分方程（3）的特征方程，其根为特征根,因特征根有三种情况，因此，方程(3)的通解也有三种情况：,得方程(3)的通解为,由性质1可知，函数,也是方程(3)的解，且线性无关,小结,综上得：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必积分，只要求出特征方程的根，便可写出。,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,具体步骤如下：,(见下表),解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程得,综上讨论,解 （1）对应齐次方程的特征方程为：,因此，齐次方程的通解为：,（2）求所给方程的一个特解,代入所给方程得：,所以，可设,解 （1）对应齐次方程的特征方程为：,因此，齐次方程的通解为：,（2）求所给方程的一个特解,代入所给方程得：,所以，可设,二、,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,利用欧拉公式及（一）的结论得：,代入原方程得,所求非齐方程特解为,例6,解 对应齐次方程的特征方程为：,
