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1、勾股定理与它的逆定理的证明,教学目标：1进一步掌握推理的方法，发展演绎推理能力。2了解勾股定理及其逆定理的证明方法。3灵活运用勾股定理的逆定理。,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.,我们曾经利用什么方法得到勾股定理？,勾股定理的证明,方法一: 拼图计算方法二：割补法方法三：赵爽的弦图方法四：总统证法方法五：青朱出入图方法六：折纸法方法七：拼图计算,这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?,4,4,8,方法一：数方格,方法二：
2、拼接图形证明,将四个全等的直角三角形拼成如图正方形,拼接图形证明二(赵爽弦图）,总统证法,这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。图中三个三角形面积的和是2ab/2c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得:c2 = a2+b2 。,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 勾股定理不只是数学家爱好，还有达芬奇画家证法等等。,方法四：欧几里得证明方法（课本20页,自己课下阅读）,勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.,反之,在
3、一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是直角三角形。你能证明吗？,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.,已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:ABC是直角三角形.,方法一:度量法:,方法二:证明,分析: 由边的关系推出角是90度, 是不容易的,如果能借助于ABC与一个直角三角形全等,导出A=90即可.,逆定理的证明,证明:作Rt ABC使C =900,AC=AC,BC=BC(如图),则,已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:ABC是直角三角形.,AC2+BC2=AB2(勾股定理).
4、,AC2+BC2=AB2(已知), AC=AC,BC=BC(作图), AB2=AB2(等式性质)., AB=AB(等式性质)., ABC ABC(SSS)., C=C 900(全等三角形的对应边)., ABC是直角三角形(直角三角形意义).,几何的三种语言,勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.,这是判定直角三角形的根据之一.,在ABC中AC2+BC2=AB2(已知),ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).,应用1:下列选项的各组数中,能构成的是直角三角形的三边( ) A 0.3 ,0.4 ,0.
5、5 B 6 ,7 ,8C 15 ,20 ,30 D 6 ,11 ,21,点评:先去掉D答案,再利用两条较短边的平方和能否等于最长边的平方.验一次即可.,应用2 :在ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm,求证AB=AC.,13,12,5,应用3、有一块三角形空地，它的三边分别长45m，60m，70m，已知60m长的边线为南北向，是否有一条边线为东西向？,60m,又45+ 60 70,所以没有一条边线为东西向,这三条边不能组成直角三角形,所以没有一条边线与60米的线垂直,命题与逆命题,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,如果三角形两边的平方和等于第三边平方
6、, 那么这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.,命题与逆命题,如果两个角是对顶角,那么它们相等,如果两个角相等,那么它们是对顶角;,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;,三角形中相等的边所对的角相等,三角形中相等的角所对的边相等.,再观察下面三组命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.,你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?
7、,它们都是真命题吗?,想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?,定理与逆定理,一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.,我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.,你还能举出一些例子吗?,想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.,蓄势待发,老师提示:你是否能将有关命题的知识予以整理.,说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:,四边形是多边形;两直线平行,同旁内角互补;如果ab=0,那么a=0,b=0.,
8、请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.,学无止境,勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.,P19读一读：勾股定理的证明.,学无止境,历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质
9、，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。,P18读一读：勾股定理的证明.,学习永远是件快乐而有趣的事！勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！,回味无穷,勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理与逆定
10、理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.,知识的升华,1、P19-20勾股定理的证明2、P21-22的1-5题祝你成功！,.,.,方法一:利用相似证明.,方法二:利用勾股定理计算三边,再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形.,习题1.4,驶向胜利的彼岸,1.如图，在ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:AB=AC.,证明:BD=CD,BC=10cm(已知), BD=5cm(等式性质)., AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169,AD2+BD2
11、=AB2.,D, 在ABD中,ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).,在RtADC中,AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169,AC2=AB2.,AB=AC(等式性质).,习题1.4,2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？,解:BCAC,A=300,AB=10m(已知), BC=AB/2=1025(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又CB1AB,BCB1=900-600=300
12、(直角三角形两锐角互余),BB1=BC/2=522.5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).,B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,习题1.4,3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？,解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知),老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.,答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm.,梦想成真,1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
