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1、第二章 向量范数与矩阵范数,2.4 矩阵的条件数,1,考虑线性方程组 它有准确解为: 如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得 它有准确解: ，可以看出，方程组的解变化非常大。,2,定义1：设 ，|.|是Cnxn上的一个矩阵范数.矩阵A的条件数定义为,矩阵的条件数,3,常用的条件数有： -条件数：1-条件数：2-条件数：,矩阵的条件数,4,常用的条件数有：特别地，当A是一个正规矩阵时，,矩阵的条件数,5,例1：设 求A的条件数,矩阵的条件数,6,矩阵条件数的性质：,(1),矩阵的条件数,(2),(3),(4)当U是酉矩阵时，则,(5)当A、B是可逆矩阵时，则,7,n阶Hilbert矩阵
2、,矩阵的条件数,Hilbert矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研究中.,8,1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的或好条件的.,误差估计中的应用,2.若条件数cond(A)较大，就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件的.,注： cond(A)多大A算病态，通常没有具体的定量标准；,9,注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接 近一个奇异矩阵。,误差估计中的应用,10,1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响,误差估计中的应用,定理1 设 是一个可逆矩阵， 是一个矩阵，|.| 是Cnxn上的一个矩阵范数.若 则 可逆，且有,11,1.对
3、求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响,误差估计中的应用,推论1 设 ， 若存在Cnxn上的一个矩阵范数|.| 使得 则有,12,2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响,误差估计中的应用,定理2 设 ， ， 而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范数|.| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解， 是线性方程组 的解若 ，则,13,2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响,误差估计中的应用,14,2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响,误差估计中的应用,定理3 设 ， ， 而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范数|.| 相容.若向量 分别满足Ax=b， ，则有,15,例2.设 证明对任意范数，当 时有 .因而矩阵A是病态的.,误差估计中的应用,16,例3.设 为使线性方程组Ax=b的解x与 的解 的相对误差 ，试问 应不超过何值？,误差估计中的应用,17,1.设 ，求A的条件数,作业,18,2.设 且 试估计线性方程组Ax=b的解x与Ax=b1 的解x1的相对误差 .,作业,19,
