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1、第一章 行列式,二阶、三阶行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开Cramer法则,用消元法解二元线性方程组,1、二阶行列式,1. 二阶与三阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,为便于记忆，引入记号,其中，数,称为行列式的元素。,该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行两列，故称之为二阶行列式。,每一元素有两个下标，第一个下标 i 称为 行标，表明该元素位于行列式的第 i 行；第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于行列式的第 j 列；,主对角线,辅对角线,若记,对于二元线性方程组,则二元线性方程组的解为,三阶行列式的计算:,对角线法则,2 n阶行列式的定义
2、,1. 全排列与逆序数,定义1,如，1234和4312都是4阶排列，而53142为一个5阶排列。,显然，n阶全排列的个数为n！个。,定义2,例1 求下列排列的逆序数,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,2. n阶行列式的定义,考察三阶行列式的定义,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积， 其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列， 当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列 式代数和中的所有项；,（3）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的 奇偶性,（1）三阶行列式共有6项，即3阶排列的个数；,故,定义3,例2 计算下三角形行列式,解,展开式的一般项为,
3、不为零的项只有,定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换， 将相邻两个数位置对调称为相邻对换。,定理1 一次对换改变排列的奇偶性。,定理2,定理3,3 行列式的性质,称之为 D 的转置行列式。,记,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 交换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.,推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论3
4、行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,例3,解,性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,1、行列式与其转置行列式的值相等;,2、交换行列式的两行或两列,行列式的值变号;,3、用数k乘行列式的某一行(列) ,等于以数k乘此 行列式;,5、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.,行列式的性质,4、如果行列式的某一列(行)的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和;,计算
5、行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例4,解,将第 列都加到第一列得,例5 计算n阶行列式,4 行列式按行(列)展开,余子式与代数余子式行列式按行（列）展开法则,叫做元素 的代数余子式,例如,1、 余子式与代数余子式,2、行列式按行（列）展开法则,例6,定理4 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,考察下述行列式,同理,关于代数余子式的重要性质,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,例8 计算n+1阶行列式,练习： 计算n阶行列式,5 Cramer法则,非齐次与齐次线性方程组的概念Cramer法则齐次线性方程组的相关定理,设线性方程组,则称此方程组为n元非,齐次线性方程组;,则称方程组为n元齐次线性方程组.,1、非齐次与齐次线性方程组的概念,2、Cramer法则,定理5 如果n元线性方程组,的系数行列式,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,例 9 解线性方程组,解,
