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1、3.4.6一元一次方程与实际问题行程问题-环形跑道问题,1,运用方程解决实际问题的一般过程是什么？,1、审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；,2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；,3、列方程：根据相等关系列出方程；,4、解方程：求出未知数的值；,5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。,审,设,列,解,验,6、答：把所求的答案答出来。,答,一、激发求知欲,2,用一元一次方程分析和 解决实际问题的基本过程如下:,实际问题,数学问题,已知量,未知量,等量关系,一元一次方程,方程的解,解的合理性,实际问题答案,抽象,分析,列出,求出,验证,合理,3,一、相遇问题
2、的基本题型,1、同时出发（两段）,二、相遇问题的等量关系,2、不同时出发 （三段 ）,4,一、追及问题的基本题型,1、不同地点同时出发,二、追及问题的等量关系,2、同地点不同时出发,1、追及时快者行驶的路程慢者行驶的路程相距的 路程,2、追及时快者行驶的路程慢者行驶的路程或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间,5,二、展示目标和任务,6,环形跑道问题,分类,一、环形跑道上的追及问题,二、环形跑道上的相遇问题,同向而行，双方的速度不同（假设甲快，乙慢），甲追上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我们把这种问题称为环形跑道上的追及问题,背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在跑道上多次与乙相
3、遇。我们把这种问题称为环形跑道上的相遇问题,三、自主合作与交流,7,环形跑道问题相遇问题,理论依据,甲,乙,甲乙在同一地点出发，背向而行（甲快，乙慢），当甲与乙第一次相遇时，甲乙共同跑了一圈。由相遇问题，我们有,甲总路程+乙总路程=跑道周长,同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有：,甲总路程+乙总路程=跑道周长*2,从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈，因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。,甲总路程+乙总路程=跑道周长*N,8,环形跑道问题追及问题,理论依据,甲乙在同一地点出发，同向而行（甲快，乙慢），当甲追上乙时
4、，肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）,甲,乙,这时，我们可以看做甲乙在同一地点出发，同向而行，当甲再次追上乙时，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上时）,从而我们可以发现，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此，追上的次数就等于多跑的圈数。,甲总路程-乙总路程=跑道周长,甲总路程-乙总路程=跑道周长+ 1圈周长,甲总路程-乙总路程=跑道周长*N,9,例1、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分250m两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？,10,分析：圆形跑道中的规律： (第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程1圈的长度,(第2次相遇)快
5、者跑的路程+慢者跑的路程2圈的长度,(第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程3圈的长度 .,(第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程n圈的长度,解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350 x+250 x=400 解得：x=答：经过 分钟甲、乙相遇。,11,变式1、 若两人同时反向出发，且两人相距100米。问经过多少时间两人首次相遇？1.相遇问题同时反向不同地.gsp,变式2、 若两人从同一处反向出发，且乙先跑1分钟。问经过多少时间两人首次相遇？2.相遇问题同地反向慢先跑.gsp,变式3、 若两人从同一处反向出发，且甲先跑1分钟。问经过多少时间两人首次相遇？3.相遇问题同地反向快先跑.gsp
6、,12,例2、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分250m两人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？追及问题同时同地同向.gsp,13,分析：圆形跑道中的规律： (第1次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程1圈的长度,(第2次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程2圈的长度,(第3次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程3圈的长度 .,(第n次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程n圈的长度,解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350 x-250 x=400 解得：x=4答：经过4分钟甲、乙相遇。,14,变式1、 甲在后，乙在前，且两人相距100米。若两人
7、从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？1.追及问题同时同向不同地.gsp,变式2、 甲在前，乙在后，且两人相距100米。若两人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？2追及问题同时同向不同地.gsp,变式3、 两人从同一处同向出发，若乙先跑1分钟，经过多少时间首次相遇？3.追及问题同地反向慢先跑.gsp,变式4、 两人从同一处同向出发，若甲先跑1分钟，经过多少时间首次相遇？4.追及问题同地反向快先跑.gsp,15,找等量关系的方法：,1.从题中的关键语句入手寻找等量关系。2.利用某些基本公式寻找等量关系。3.从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。4.还可以借助图形、表格、线段图等分析较复
8、杂问题中的等量关系。,四、成果展示，教师点拨,16,【例1】小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？,（1）反向,相等关系：小王路程 + 叔叔路程 = 400,叔叔,小王,17,【例1】小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米。（2）若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？,（2）同向,相等关系：小王路程 + 400 = 叔叔路程,叔叔,小王,18,1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度是200米/
9、分钟，有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。,（1）他们从同一地点同时同向起跑，当小明第三次追上爷爷的时候，小明笑着对爷爷说：爷爷，我都追上了你三次了，爷爷笑着说：我知道我们跑了多长时间了！聪明的你，知道从起跑的时候算起，到小明第三次追上爷爷后，一共用了多长时间吗？,五、知识验证提升,19,解：（1）设小明第三次追上爷爷时，总共用的时间为X分钟,300X-200X=4003,解得：X=12,答：小明第三次追上爷爷，总共用的时间为12分钟,20,1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度是200米/分钟，有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。,（2）
10、这次比赛后，小明疑惑的问爷爷：爷爷，要是我们向相反的方向跑，没有表，你能知道我们跑了多长时间吗？爷爷笑着说：我们就按照平时跑的速度，只要我知道我们相遇的次数，我就知道我们能跑多少时间你能帮小明解决这个疑惑么？,21,（2）解：假设第三次相遇，设小明与爷爷第相遇的时间为X分钟,300X+200X=4003,解得：X=2.4,答：小明和爷爷首次相遇，相遇时间为2.4分钟,当然，我们也可以利用多次相遇公式甲总路程+乙总路程=跑道周长*N来求相遇的时间。,22,2. 运动场一圈为400米，张森和丁烁一同参加学校运动会的长跑比赛。已知丁烁然平均每分钟跑230米，张森每分钟跑150米。（1）若两人从同一处
11、同时同向起跑，问经过多长时间两人可以首次相遇？（2）若两人从同一处同向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时间两人可以首次相遇？（3）若两人从同一处同时反向起跑，问经过多长时间两人可以首次相遇？（4）若两人从同一处反向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时间两人可以首次相遇？,23,2.小结： 行程问题包括相遇、追击和飞行、航行的速度问题其基本关系是：路程=时间速度,相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程,追击问题的等量关系： 1）同时不同地 ： 慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离 2）同地不同时： 甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间,顺水逆水的问题的等量关系： 1）顺水的路程 = 逆水的路程 2）顺速 逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速,24,
