理性期权定价理论课件.ppt

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1、Robert C. Merton,Theory of rational option pricing,The Bell Journal of Economics and Management Science, Volume 4, Issue 1(spring, 1973),Company Logo,期权定价理论始于1900年，法国数学家Louis Bachelier假设股票价格服从零漂移布朗运动，从而导出了期权定价公式。本论文在假设投资者偏好更多财富的基础上，推导出期权定价的一组约束条件，它是保证期权定价公式和理性定价理论相一致的必要条件。,Company Logo,重点研究了两类问题：,1.

2、标的股票支付股息时的期权定价问题；2.执行价格的变化引起期权合约条件的明显改变时的期权定价问题；或者公司投资（或资本结构政策）的变化引起期权合约条件的潜在改变时的期权定价问题。引入其他假设进一步研究和推广Black-Scholes期权定价理论。,Company Logo,1.引言,期权是一类特别简单的未定权益，期权定价理论导致了一般未定权益定价理论的产生；所有未定权益都可以表示成基础期权合约的组合，所以期权定价理论是未定权益定价理论的组成部分。,Company Logo,2.理性期权定价的约束,“美式” 认股权证“美式” 看涨期权“欧式” 期权合约“投机商号” 或“初始” 零投资假设符号表示：

3、美式认股权证价值F(S， ；E)E执行价格到期前期限S每股普通股票价格,Company Logo,欧式认股权证价值f(S， ；E)美式看跌期权价值G(S， ；E)欧式看跌期权价值g(S， ；E)由认股权证和有限责任的定义：F(S， ；E) 0； f(S， ；E) 0 (1)到期时， =0，两个合约满足：F(S， ；E) = f(S， ；E)=Max(0，S-E) (2)根据套利条件： F(S， ；E) Max(0，S-E) （3）,Company Logo,定义：我们称证券（投资组合）A占有于证券（投资组合）B，如果在未来某个已知日期，对于某些状态，证券A的收益超过证券B的收益，对于所有状态证

4、券A的收益至少等于证券B的收益。假设1：理性期权定价的一个必要条件是，定价该期权使得它既不是占优证券也不是被占优证券。F(S，1 ；E) F(S，2 ；E) 1 2 (4)F(S， ；E) f(S， ；E) (5),Company Logo,F(S， ；E1) F(S， ；E2)f(S， ；E1) f(S， ；E2) E1 E2 (6)S= F(S， ；0) F(S， ；E) F(S， ；E) （7）F(0， ；E)= f(0， ；E) =0 (8)令P()为从现在起年后到期支付1美元无风险（在违约意义上）贴现贷款（或债券）的价格。1=P(0) P(1) P(n) 01 n （9）,Compa

5、ny Logo,定理1：如果欧式认股权证的执行价格为E，认股权证有效期内普通股没有任何支付（例如：股息）（或者不允许有这样的支付以保护认股权证），那么， f(S， ；E) Max0，S-E P()证明：构造投资组合：A:支付f(S， ；E)购买认股权证；以每份债券P()的价格购买E份。总投资为： f(S， ；E)+E P() B:支出S购买普通股。总投资为：S,Company Logo,年末，普通股的价值为S,Company Logo,除非A组合现在的价值至少等于B组合的价值，否则A将占优B.因此，根据假设1，f(S， ；E)+E P() S，结合（1）有f(S， ；E) max0，S-E P

6、()由（5）， F(S， ；E) f(S， ；E) F(S， ；E) Max0，S-E P(),Company Logo,定理2：如果定理1的假设条件成立，美式认股权证在到期前永不执行，因此，其价值与欧式认股权证相同。证明：如果认股权证被执行，其价值为Max0，S-E 由定理1， F(S， ；E) Max0，S-E P() Max0，S-E因此，这个认股权证“活着”比“死去”有价值。,Company Logo,定理3：如果定理1的条件成立，永续（ = ）认股权证的价值等于普通股票的价值。F(S， ；E) F(S， ；E) Max0，S-E P() S（7） S= F(S， ；0) F(S， ；

7、E)因此，F(S， ；E)=SS F(S， ；E) Max0，S-E P()所以F(S， ；E)为P()的函数，否则， P()（大利率）充分小，不等式关系不能成立。,Company Logo,利率增大，相当于E变小，所以，认股权证价值是利率的增函数。同样，适用于有限责任公司的股票分析。E被看成是债务。定理4：如果F(S， ；E) 是理性决定的股权价格，那么，它是执行价格E的凸函数。证明：任取0 1，E2E1，令E3= E1+(1-) E2,Company Logo,构造投资组合：A: 份执行价格为E1的认股权证，(1-)份执行价格为E2的认股权证.B:1份执行价格为E3的认股权证.令到期的股票

8、价格为S到期时，A组合的价值为Max(0, S- E1)+(1- ) Max(0, S- E2)组合B的价值为Max(0, S- E3)= Max(0, S- E1-(1-) E2) Max(0, (S- E1)+ Max(0, (1-) (S- E2) 故为了避免占优， F(S， ；E3) F(S， ；E1) + (1-） F(S， ；E2),Company Logo,定理5：如果f(S， ；E) 是理性确定的欧式认股权证价格，那么，对于E1 E2， -P()（E2-E1） f(S， ；E2) - f(S， ；E1) 0 。进而，如果f是执行价格的可微函数，证明：由（6）直接得到不等式右边成

9、立。左边不等式根据占优理论：A:以E2购买股票的认股权证，以每份P()的价格购买（E2-E1）份债券。,Company Logo,B:以E1购买股票的认股权证.如果到期时，股票的价格为为S，那么，组合A的价值为： Max(0, S- E2)+ （E2 E1）组合B的价值为： Max(0, S- E1)如果S E2 Max(0, S- E2)+ （E2 E1） Max(0, S- E1)如果S E2Max(0, S- E2)+ （E2 E1）= Max(0, S- E1),Company Logo,故为防止占优，有f(S， ；E1) f(S， ；E2)+P()(E2 - E1)如果定理1的条件成

10、立，定理5 的不等式对于美式认股权证成立。否则，弱不等式成立,Company Logo,定理6：如果k是正常数，Q(t)=kS(t);EQ=kE,那么，FQ(Q， ；EQ) kF(S， ；E) ,对于所有S, ; E和每一个k证明：设为认股权证被执行时或到期的普通股票价格，则QkS,且EQ=kE，对Q的认股权证价值为Max0,Q- EQ=kMax0, S-E,为了避免占优，卖出时必有FQ(Q， ；EQ) kF(S， ；E) 说明认股权证定价函数是S和E的一次齐次函数，反映了正常竞争中的规模收益不变的结论。,Company Logo,股票价格和认股权证价格可以进行单位执行价格报价。设 为公司i的

11、普通股票认股权证的价值，假设2：如果 1美元股票i和j的收益分布相同，则定义 为在时间t,投资于公司i的1美元的单期收益，它是随机变量 。 为1美元的期收益。,Company Logo,定理7：如果 当 且 时，则证明：从结构上看，第n+1个约束证券的每份股票包括公司i的普通股 份，根据假设，每股的价格为由占优理论可以得出定理的证明。投资组合A:包括公司i的普通股认股权证 份，投资组合B:包括一份第N+1个约束证券。,Company Logo,到期日为公司i的普通股票价格。根据定义：则由 的凸性得：为避免占优，所以投资组合的认股权证小于认股权证的投资组合，从认股权证的价值来看，分散化是”有害的

12、”。,Company Logo,推论：如果定理7的假设条件成立，且 是同分布的，则证明：普通股的风险越大，认股权证就越有价值。定义如果 是随机变量，且 则称证券1比证券2的风险大。定理8：理性确定的认股权证价格是与它相关的普通股票风险的非减函数。,Company Logo,证明：令 普通股的收益， 为认股权证的价格。设 ， 。 独立同分布，且根据定义，证券i比证券Z风险大。我们定义随机变量收益根据结构， 的分布相同，由定理7的推论，根据大数定律，当 时， 依概率收敛于,Company Logo,所以因此，普通股的不确定性越大，认股权证就越有价值。定理9：如果对普通股投资1美元的收益分布和股票价

13、格无关，则 是股票价格和执行价格的一次齐次函数。证明：令 是初始股票价格为 的1美元投资收益。定义：,Company Logo,根据定理6，定理得证。定理9比定理6更强，如果收益依赖于股票价格水平时，这个结论不成立。定理10：投资于普通股票1美元的收益分布与价格水平无关，那么， 是股票价格的凸函数。证明：,Company Logo,要证凸性，必须证明当 ，时，有根据定理4有令,Company Logo,3.股息和执行价格变化的影响,最普通的两类支付是股票股息（拆股）和现金股息。一般来说，期权价格受到未预期到的投资政策（存量增加）、资本结构（如：债务-权益比率）（存量不变）和支付政策（存量减少）

14、的影响。定义：期权是支付保护的，对于给定的投资政策和给定的资本结构，期权的价值不会因支付政策的选择而变化。,Company Logo,定理11,如果不管支付所表示的收益（用支付分数表示）如何变化，投资于普通股票1美元的收益保持不变，且在认股权证有效期内的每一支付后，如果可以调整合约从而能够让用E美元购买到的股份增加 ，这里的d为支付的货币量。 为支付后每股股票价格，则认股权证有保护。考虑两个公司。假设投资于普通股票1美元的总收益分布相同，且两个公司的初始价格相同， 。对于公司i， 为t期从支付中每美元的收益， 为t期从资本利得中每美元的收益，从而有 为时期t公司i的认股权证可以以总价格E购买公

15、司i的股票数量，这里根据定义，这里 为进行支付后t时刻的每股股票价格。,Company Logo,根据假设条件，有当认股权证被执行或到期那一天，公司i认股权证的价值为但是根据假设， 同分布，根据假设2，和 的特定形式选择无关。推论：如果不管支付所表示的收益（用支付分数表示）如何变化，投资于普通股票1美元的收益保持不变，如果不存在规模经济，且在认股权证有效期内的每一支付后，以执行价格E购买一股股票的认股权证都能够与以执行价格E/购买,Company Logo,一股股票的 份认股权证相交换，则认股权证是支付保护的。证明：第i个支付日后， 为股票分割前的一股股票所分成的股份数。在没有税收和交易成本情

16、形下，Miller-Modigliani证明，如果投资政策和资本结构不变，股息政策不会影响公司的价值。在这种假设下，对普通股票投资1美元的总收益和支付政策无关。Black-Scholes特例：公司清算所有资产并以现金方式支付。考虑投资政策、资本结构和支付三方面情况。认股权证初始形式，到期全部卖掉所有资产，买入无风险,Company Logo,资产，认股权证下降为如果 即使认股权证是保护的也没有价值。支付无限制：公司将价值的 部分支付给股东。 且 支付后，认股权证的价值为当 成立当 极限状态也应成立。在非初始形态下，当投资政策和资本结构发生变化时，为不用发行新股票就能保持资本结构不发生变化，,C

17、ompany Logo,公司不得不买入 比例的已发行的认股权证，在B-S情形下，买入全部已发行的认股权证。现金股息保护条款：导致认股权证持有者的损失，当时，损失其价值的d/S,SE，损失变小，SE，损失变大。执行价格一般是距执行日的时间函数，接近执行日，执行价格会上升。容易证明，如果是这样，执行时间刚好在执行价格变化之前的那一时刻。用递归方法去找解。不提前执行的充分条件： （10） （11）,Company Logo,推论：如果受保护的永久认股权证的执行价格有有限个变化，则认股权证不被执行，其价格等于普通股票的价格。证明：最后执行的认股权证的价值为：最后一个执行日之前的认股权证价值为：故用递推

18、法，认股权证永不执行。,Company Logo,已知未来股息和股息政策对未受保护认股权证的影响：修正的欧式认股权证的边界条件： 等于距到期日前的 年支付的每股股息。已知未来股息不提前执行的充分条件： （12）连续情况，d，r不变： （13）,Company Logo,4.理性看跌期权定价的约束,在到期日： （14）投资组合A:普通股多头S美元， 年后欧式看跌期权多头 美元，借款 投资组合B:看涨期权多头 美元从现在起， 年后，股票价格为,Company Logo,为避免看涨期权占优： （15）投资组合A:普通股空头价格S美元， 年后欧式看涨期权多头 美元，贷款 投资组合B:看跌期权多头 美元

19、从现在起， 年后，股票价格为,Company Logo,为避免看跌期权占优： （16）定理12：如果假设1成立，且借款利率与贷款利率相等，即 则证明：由（15）和（16）直接得出。推论1：证明：因为 由（16）推出。推论2：永久欧式看跌期权的价值为0。证明：由推论1得：,Company Logo,f为S、E的一次函数或凸函数时，g也如此。股票和现金股息的调整方法类似。 （17） （18）美式期权的价值总是到期日的非减函数考虑两个投资组合：A:价格为S普通股多头，价格为 美式看跌期权多头，借款 分析同前，为避免认股权证占优 （19）,Company Logo,B:投资组合包括价格为 的美式看涨期

20、权多头，价格为S的普通股票空头，贷款 美元。当 足够小， 成立由（17）这时，可以卖出美式看跌期权，持有投资组合。当 时，（16）不成立。第二个投资组合分析得： （20）,Company Logo,定理13对于某个 ，如果 的概率为正，则提前执行 年美式看跌期权的概率为正，且美式看跌期权的价值将严格大于相应的欧式期权的价值。证明：假设在 ，对某些 ，有则由定理12，由（17）得：如果则,Company Logo,5.按照Black-Scholes方法的理性期权定价,假设：跨期连续交易，CAPM成立；利率r已知且不变；合约有效期内没有股息，执行价格不变。方法：在短期内构造套期保值组合，包括普通股

21、票、期权、短期无风险证券。选择投资组合权重消除所有的“市场风险”，建立均衡条件。欧式看涨期权公式： （21）,Company Logo,Samuelson-Merton公式：一般均衡公式三个资产和一个投资者 （22）这里 是概率密度函数，按 的分布， Z的期望值等于 。只有在 为对数正态密度， 的分差为 的特殊情况下，方程（22）才和（21）相同。,Company Logo,6. Black-Scholes模型的另一种推导,进一步假设：（1）“无摩擦”市场（2）股票价格动态 （23）其中： 为普通股票的期望收益； 为收益的瞬时方差， 为标准高斯-维纳过程，独立增量过程。并不假设 常参数的独立增

22、量过程。限制 为非随机，至多是时间的已知函数。（3）债券价格动态 （24）,Company Logo,不假设不同到期日的 完全相关。 （24a）任何资产的收益（未预期到的）之间不存在序列相关 (24b) 是非随机变量且与P的水平无关。对于利率非随机且不随时间变化的特殊情形：（4）投资者的偏好和期望,Company Logo,所有的投资者对 的看法一致，但不假设对 的看法一致。 为期权价格函数，则给定S,P的分布，由伊藤引理：令 是t的二阶可微非随机变量函数，两个随机过程 和这里 那么,Company Logo,（25）,Company Logo,将（23）和（24）代入（25）得： （26）,

23、Company Logo,用普通股票、期权、无风险债券构造投资组合，使总投资为0W1:投资组合中对普通股票投资的货币（瞬时）量W2:对期权投资的货币量W3:对债券投资的货币量dY:为投资组合的瞬时收益 （27）,Company Logo,选择策略 ，使dz与dq的系数为0 （28）当且仅当下式成立，（28）有非平凡解 （29）如果（29）成立,Company Logo,由（26）得： （30）或者 （31）根据欧拉定理，H为(S,P)一次齐次函数。从（29）得到的第二个条件是：根据（26）得： （32） （33）,Company Logo,用（31）去替代H得： （34）这就是二阶线性双曲线微

24、分方程。如果H是欧式认股权证，H满足（34）及其约束边界条件 （34a） (34b)定义 ，这是未来某个固定日（认股权证的到期日），按执行价格为单位支付的股票价格。当 ，变量x有定义，由（23）和（24）以及伊藤引理，x的动态随机微分方程为： （35）,Company Logo,令h与P无关，与x的单位相同的认股权证价格。在（34）、（34a）、（34b）中用（h,x）替代（H,S）,得到h的偏微分方程： （36）边界条件：因为瞬时方差V2仅是的函数，所以h仅是x和的函数。证明了H的齐次性假设，此外，H与E无关，H实际上是S,EP()的一次齐次函数。,Company Logo,令定义：代入（3

25、6）得： （37）受约束于边界条件：假如认股权证为“完全函数形式”那么，,Company Logo,（38）为了求解（37），使用标准形式：代入（37）得： （39）受约束于边界条件：,Company Logo,（39）为自由边界问题，可以利用分离变量法或傅里叶变换求解： （40）erfc为误差补偿函数，已制成表格。,Company Logo,当 时， （40）与（21）相同。在非随机和利率为常数的情况下，（38）与（21）相同，即B-S公式。当 时，（37）为萨缪尔森“线性”模型中的认股权证价格方程。 为风险证券的预期收益率，萨缪尔森对认股权证的预测值大于B-S模型的预测值。定理14给定股票

26、价格，认股权证是P()的非增函数，因此是年期利率的非减函数。证明:,Company Logo,直接地，正规地，因为H是S的凸函数且过原点，所以根据（31） 又所以而P是的减函数。（34）只用了终端边界条件，所以得出的价格函数也只是欧式认股权证的价格函数。美式认股权证的正确条件还包括套利边界不等式： （34c）定理15认股权证的价格是股票价格方差的非减函数。,Company Logo,根据（38），方差的变化引起的H的变化与y2成比例。但是y是合理的美式认股权证的价格，所以它必为到期时间的非减函数，即y2 0。定理15是定理8的特例。一般来说，递增的方差并不意味着递增的风险，仅在对数正态分布的股

27、票收益模型中，方差才是风险的有效度量。(附录2)上面的推导也适用于瞬时非均衡价格。关键是任意的证券收益都可以完全用其他两个证券的连续组合来复合。条件（29）曾用过CAPM的一部分。（31）是完全套期保值和同质性条件。,Company Logo,明确几个市场概念,Company Logo,7.包括股息支付和执行价格变化的扩展模型,分析股息对无保护认股权证的影响假设r为常数，（29）简化为： （41）设 为单位时间每股股票的股息率。 为瞬时总期望收益，则价格增值的瞬时期望收益为：令认股权证的价格函数为,Company Logo,利用伊藤引理 （42） （43）（41）应用到（43）,Company

28、 Logo,认股权证价格的偏微分方程 （44）欧式认股权证边界条件美式认股权证的附加条件 如果提前执行的概率为正，则对于每个，存在一个股票价格水平 ，使得对于所有的 ，认股权证更值得被执行而不是继续持有。,Company Logo,执行时 (44a) 如果 已知，（44a）变成具有时间依赖边界的的半无限边界问题。但是， 不是已知的，也需要求解。设 为给定函数 时，（44）-（44a）的解，则年美式认股权证的价值为 （45） 与股票当前价格无关，最大化（45）得出高切条件 （44b）,Company Logo,情形1：萨缪尔森与默顿已经证明，对于成比例的股息政策， ，提前执行的概率总为正。如果

29、，（44）在数学上与萨缪尔森的“非线性”情形相同，此时有，永久认股权证为幂函数，在有限值S处与“S-E”相切。情形2：常数股息。（13）推出了不执行的充分条件为：当该条件成立，永久认股权证的解为： （46）M为合流超几何函数。,Company Logo,假设执行价格 为到期时间的连续可微且递减函数边界条件：做变量代换 （47）,Company Logo,约束条件：这与固定执行价格的区别是“利率”用 替代。即当认股权证不提前执行，最终执行价格很关键。,Company Logo,在（38）公式中替换 ，证实这个认股权证的价值与固定执行价格E(0)和利率r相同。该模型与（11）是一致的 ，因为 时，

30、意味着这是不提前执行的一般充分条件。,Company Logo,8.美式看跌期权估价,如果 是理性看跌期权的价格，当 时，利用（44）的方法推导得到G满足 (48)约束条件：股票价格充分低，则执行看跌期权有利。定义C为股票的最大值，使得看跌期权的持有者执行比继续持有更好。,Company Logo,对于永久看跌期权，（48）简化为： （49）边界条件： （49a） (49b)以及根据前面最大化行为讨论，选择C使得期权价值最大。（49c）,Company Logo,解常微分方程（49）得通解： （50）方程（49a）要求 ，（49b）要求 。所以 （51） 最大化（51），选择C，即 ，使得 （

31、52）萨缪尔森高切边界条件：,Company Logo,9.“下跌出局”看涨期权估价,当股票价格降到规定的价格水平时，期权合约无效，即期权无价值。“敲出”价格通常是到期时间的函数，离到期时间越近，价格越高。设 为欧式“下跌出局”看涨期权的价值， 为“敲出”价格，假设f的偏微分方程为： （53） 约束条件：如果 （53）就是标准的欧式看涨期权的方程。,Company Logo,变量代换：代入（53）得： （54）约束条件：这是半无限边界问题，利用分离变量法或傅里叶变换求解。,Company Logo,（55）,Company Logo,检查（55）和（21）发现，（55）第一项方括号中的内容为标

32、准看涨期权的价值，大括号中的内容为“下跌出局”性质的“贴现”。当“出局”价格为常数，即 研究永久期权的极限情形。（53）简化为： （56）约束条件： （56a） (56b)简记：,Company Logo,解（56）得： （57） 解释为“下跌出局”性质的“贴现”。（55）与（57）都是(S,E)的一次齐次函数。可以证明：根据（57），期权价格对股票价格的弹性 大于1，所以它是“杠杆”证券。但它是股票价格的凹函数。,Company Logo,10.可赎回的认股权证的估价,这里的分析可用于可转换证券等。美式认股权证的持有者可以选择执行认股权证，而不是以赎回价格卖给公司。当执行认股权证的价值超过赎

33、回价格时，认股权证的持有者被迫执行认股权证，称为“强制转换”。可赎回认股权证是两种交易的结果：公司卖给投资者不可赎回认股权证，同时从投资者手中购买选择权（或者提前“强制”转换，或者以固定价格收回认股权证。）,Company Logo,设可赎回美式认股权证的价值为等价的不可赎回认股权证的价值为赎回条款的价值为则当 时，F满足基本的偏微分方程： （58）约束条件：,Company Logo,这里K为赎回价格，且 为（已被确定的）公司赎回认股权证的股票价格水平。因为 且H和F满足（58），所以C满足（58）和边界条件：因为 由公司选择，所以附加最大化条件来选择 使 最大。因为 且H不是 的函数，所以

34、C的最大化条件可以写成F的最小化条件。求解永久认股权证的解：,Company Logo,我们知道：（58）化简为： （59） 当 时，约束条件为： 选择 最大化C , 求解（59）有 （60）,Company Logo,当 时，C是 的增函数；当 时，C是 的减函数；故 使得C最大。因此，赎回条款的价值为： （61）因为所以可赎回永久认股权证的价值为： （62）,Company Logo,11.结论,在比Black-Scholes最初公式更弱的条件下推出了这一公式。模型的引人注目的地方在于：（1）公式的推导基于避免相对占优的相对弱条件（2）最终公式是“可观测”变量的函数（3）可直接推广这一模型

35、，以确定任何类型的期权理性定价。B-S公式可以对公司资本结构的不同要素进行定价。本质上，在Modigliani-Miller定理成立的条件下，可以用公司的总价值作为“基础”证券（替代论文中的普通股票），而且，资本结构的单个,Company Logo,证券（如：债务、可转换债券、普通股票等等）可以看成公司的“期权”或“未定权益”，并以此定价。例如：可以用系统的方法推导出利率风险结构，它是债务-权益比率、公司风险级别和无风险（违约意义上）债务比率的函数。利用论文的方法，可以得出利率期限结构理论，和投机市场理论。,Company Logo,附录1,定理9和定理10说明：当普通股票1美元收益的分布和普

36、通股票价格水平无关（DISP）时，其认股权证的价值为：（1）股票价格S和执行价格E的一次齐次函数（定理9）；（2）S的凸函数（定理10）。通过反例说明DISP假设条件是不充分的。首先，给出一个极为简单的没有争议的单期欧式认股权证定价函数W： （A1）其中： 为贴现因子， 是分布dP的参数。 普通股票的一美元收益 （A2）Z和为不相关的随机变量，使得,Company Logo,例子中，函数 具有如下性质： 且 为Stieltjes积分表达式的概率密度，它等阶于Z和U的概率密度的卷积。 构造反例，选择下列Z和U的均匀分布： （A3） 其他 其他 其他 （A4）,Company Logo,其他,则卷

37、积密度为：,（A5）,Company Logo,为了更方便，选择执行价格E在股票价格S的二倍领域内,求（A1）的值：W不是S和E的一次齐次函数，选择充分小的 ，会破坏W的凸性。当 =0，恢复了概率分布的DISP性质。（A6）右端是S和E的一次齐次函数，（A7）右端大于0，为凸性。,A6,A7,Company Logo,附录2,定理15是定理8的特例，即在B-S公式中，方差与风险度量一致。用Rothschild-Stiglitz定义：X比Y有更大的风险，如果 且 ，对于所有凹函数U。B-S公式与股票的期望收益无关，并且假定股票收益服从对数正态分布，不同证券的区别仅仅是不失一般性，假设 ，证明对于每一个凹函数U，EU(Z)是 的减函数。Z是对数状态变量，EZ=1,log(Z)方差为,Company Logo,由于U为凹函数，所以 是y的减函数，因此该协方差为负。,Thank You !,