专题七解析几何.doc

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1、专题七 解析几何 重难小题保分练 1(2019 陕西宝鸡二模)设 D 为椭圆 x2y251 上任意一点，A(0，2)，B(0，2)，延长 AD 至点 P，使得|PD|BD|，则点 P 的轨迹方程为( ) Ax2(y2)220 Bx2(y2)220 Cx2(y2)25 Dx2(y2)25 1B 解析：由椭圆方程 x2y251，得 a25，b21，c a2b22，则 A(0，2)，B(0，2)为椭圆两焦点，|DA|DB|2a2 5.|PD|BD|，|PA|PD|DA|BD|DA|2 5.点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 5为半径的圆，其方程为 x2(y2)220.故选 B. 2(2019 江

2、西九江一模)若直线 l：xy10 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，则|AB|( ) A4 B6 C7 D8 2D 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程xy10，y24x，得 x26x10，则 x1x26.又直线 l：xy10 经过 y24x 的焦点(1，0)，则|AB|x1x2p628.故选D. 3(2019 广东肇庆三模)已知双曲线 C：x2a2y2b21 的右顶点为 A，右焦点为 F，O 是坐标原点，过 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于 M，N 两点若四边形 OMFN 是菱形，则C 的离心率为( ) A2 B. 2 C. 3 D.12 3A 解析：由

3、四边形 OMFN 是菱形，可得 c2a，所以 e2.故选 A. 4.(2019 陕西榆林三模)已知抛物线 y22px(p0)交双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线于 A，B 两点(异于坐标原点 O)若双曲线的离心率为 5，AOB 的面积为 32，则抛物线的焦点为( ) A(2，0) B(4，0) C(6，0) D(8，0) 4B 解析：由双曲线的离心率为 5，可得ca 5，可得 b2a，所以渐近线方程为2x y0.由抛物线 y22px 与 2x y0 可得 xp2，yp.因为AOB 的面积为 32，所以12p22p32，解得 p8，所以抛物线的焦点坐标为(4，0)故选 B. 5 (2

4、019 广东广州仲元中学等七校联合体冲刺)已知椭圆、 双曲线均是以直角三角形 ABC的斜边 AC 的两端点为焦点的曲线， 且都过 B点， 它们的离心率分别为 e1， e2， 则1e211e22( ) A.32 B2 C.52 D3 5B 解析：设 A(c，0)，C(c，0)，B 为第一象限内的点，设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，双曲线的方程为x2m2y2n21(m，n0)，|AB|s，|CB|t，可得 st2a，st2m，解得 sam，tam.在直角三角形 ABC 中，可得 4c2s2t22a22m2，则a2c2m2c22，即1e211e222.故选 B. 6(2019 湖北黄冈模拟

5、)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1x242 33|AB|，则AFB 的最大值为( ) A.3 B.34 C.56 D.23 6 D 解析： 因为 x1x242 33|AB|， |AF|BF|x1x24， 所以|AF|BF|2 33|AB|.在AFB中，由余弦定理得cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|（|AF|BF|）22|AF| |BF|AB|22|AF|BF|43|AB|2|AB|22|AF|BF|113|AB|22|AF|BF|1.又由|AF|BF|2 33|AB|2 |AF|BF|，得|AF| |B

6、F|13|AB|2.所以 cosAFB|AF|BF|2|AF| |BF|112，AFB 的最大值为23.故选 D. 7平面直角坐标系 xOy 中， 已知 MN 是C： (x1)2(y2)22 的一条弦， 且 CMCN，P是MN的中点 当弦MN在圆C上运动时， 直线l： x3y50上存在两点A， B， 使得APB2恒成立，则线段 AB 长度的最小值是_ 7.2 102 解析：因为 P 为 MN 的中点，所以 CPMN.又因为 CMCN，所以三角形CMN 为等腰直角三角形，所以 CP1，即点 P 在以 C 为圆心，以 1 为半径的圆上，点 P 所在圆的方程为(x1)2(y2)21.要使得APB2恒

7、成立，则点 P 所在的圆在以 AB 为直径的圆的内部，而 AB 在直线 l：x3y50 上，C 到直线 l：x3y50 的距离 d|1325|1232 10.所以以 AB 为直径的圆的半径的最小值为 r 101，所以 AB 的最小值为 2r2 102. 8(2019 山西运城一模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且垂于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A，B 两点，AF2，BF2分别交 y 轴于 P，Q 两点若PQF2的周长为 8，则 ab 取得最大值时，该双曲线的离心率是_ 8.2 33 解析：由PQF2的周长为 8，PQ 为三角形 AB

8、F2的中位线，可得ABF2的周长为 16, |AF2|BF2|AB|16.|AF2|BF2|AB|4a，|AB|2b2a，4b2a164a，b2a(4a) 令 ya2b2a3(4a)， 则 y4a2(3a)， 当 0a3 时， y0； 当 a3 时， y0，a3 时，ya2b2取得最大值，此时 ab 取得最大值，且 b 3，c 932 3，eca2 33. 9(2019 安徽合肥三模)已知直线 l：x 3ya0 与圆 C：(x3)2(y 3)24 交于点 M，N，点 P 在圆 C 上，且MPN3，则实数 a 的值等于( ) A2 或 10 B.4 或 8 C62 2 D62 3 9B 解析：由

9、MPN3可得MCN2MPN23.在MCN 中，CMCN2，CMNCNM6，可得点 C(3， 3)到直线 MN，即直线 l：x 3ya0 的距离为2sin61.所以|3 3（ 3）a|131，解得 a4 或 8.故选 B. 10(2019 广西桂林、崇左一模)如图，F 是抛物线 C：y22px(p0)的焦点，直线 l过点 F 且与抛物线及其准线交于 A，B，C 三点若|BC|3|BF|，|AB|9，则抛物线 C 的标准方程是( ) Ay22x By24x Cy28x Dy216x 10C 解析：设|BF|t(t0)，则|AF|9t，|BC|3t.设准线与 x 轴的交点为 P，|FP|p，A，B

10、在准线上的射影分别为 D，E.由抛物线的定义可得|BE|BF|t，|AD|AF|9t.在CPF 中，|BE|PF| |BC|CF|，即tp34；在ACD 中，|BE|AD|BC|AC|，即t9t3t93t，解得 t3，可得 p4，则抛物线的方程为 y28x.故选 C. 11( 2019 四川凉山州二诊)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1，l2，直线 l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，直线 l2与抛物线 C 交于 D，E 两点若 l1与l2的斜率的平方和为 1，则|AB|DE|的最小值为( ) A16 B20 C24 D32 11C 解析：抛物线 C：y2

11、4x 的焦点 F(1，0)，设直线 l1：yk1(x1)，直线 l2：yk2(x1)由题意可知，k21k221.联立yk1（x1），y24x，整理得 k21x2(2k214)xk210.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k214k2124k21.设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，同理可得 x3x424k22.由抛物线的性质可得|AB|x1x2p44k21，|DE|x3x4p44k22，所以|AB|DE|84k214k2284（k21k22）k21k2284k21k2284（k21k222）224，当且仅当 k21k2212时，上式“”成立所以|AB|DE|的最小值为 2

12、4.故选 C. 12(2019 四川华文大教育联盟二模)如图，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，P 是椭圆 C 上一点，O 为坐标原点若F1PF260，且|PO|2 23a，则椭圆 C 的离心率是( ) A.22 B.32 C.63 D.23 12 C 解析： 由题意可得|PF1|2c2(2 23a)22c2 23acosPOF1， |PF2|2c2(2 23a)22c2 23acosPOF2，4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 .代入可得|PF1|PF2|169a22c2.由|PF1|PF2|2a，|PF

13、1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，整理可得 2c2169a22(169a22c2)4a2，可得 c223a2，解得c2a223.又由 eca(0，1)，可得 e63.故选C. 13(2019 安徽马鞍山二模)已知 M，N 为椭圆x2a2y2b21(ab0)上关于长轴对称的两点，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，设 k1，k2分别为直线 MA，NB 的斜率，则|k14k2|的最小值为( ) A2b B.3ba D. 4ba D.5ba 13.C 解析：设 M(x0，y0)，y00，则 N(x0，y0)，y20b2（a2x20）a2.由 A(a，0)，B(a， 0)， 则 k1y0 x0

14、a， k2y0 x0ay0ax0， |k14k2|y0 x0a4y0ax0|2y0 x0a4y0 x0a|4y20a2x20|4ba|4ba，|k14k2|的最小值为4ba.故选 C. 14(2019 陕西宝鸡三模)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，渐近线分别为 l1，l2，过点 F1且与 l1垂直的直线分别交 l1，l2于 P，Q 两点若满足OF1OQ2OP，则双曲线的渐近线方程为( ) Ayx By 2x Cy 3x Dy2x 14C 解析：双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，F1(c，0)，F2(c，0)，双曲线的两条

15、渐近线方程为 ybax，ybax.OF1OQ2OP，点 P 是线段 F1Q 的中点，且 PF1OP，POF1POQQOF2x3.kOQ 3.双曲线的渐近线方程为 y 3x.故选 C. 15(2019 安徽黄山二模)已知椭圆 C：x24y21，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短轴长为直径作圆 O，以左顶点 A 为圆心，椭圆 C 的长轴长为直径作圆 A，则圆 O 与圆 A 的公共弦长为_ 15.152 解析：椭圆 C：x24y21，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短轴长为直径作圆 O，则圆心 O(0，0)，半径为 1，圆 O 的方程为 x2y21；以左顶点 A 为圆心，椭圆 C 的长轴长为直径作圆

16、 A，圆心 A(2，0)，半径为 2，圆 A 的方程为(x2)2y24，所以两个圆的公共弦所在的直线方程为 x14 ，公共弦长为 21（14）2152. 16(2019 安徽巢湖一模)如图，P 为椭圆x24y231 上一个动点，过点 P 作圆 C：(x1)2y21的两条切线， 切点分别为A， B， 则当四边形PACB面积最大时， PAPB的值为_ B 能力提升练 16.569 解析：连接 PC，设APC，由切线性质可得|PA|PB|，四边形 PACB 的面积 S12|PA|12|PA|，当四边形 PACB 面积最大时，|PA|最大，|PA| |PC|21，结合椭圆性质可得当点 P 在椭圆左顶点

17、时，|PC|最大，此时|PA| |PC|212 2，则 sin 13，PAPB的值为|PA|2cos 28(1192)569. 压轴大题突破练(1) 1(2019 山东济宁二模)已知拋物线 y28x 的焦点为 F，过点 F 的直线与该抛物线交于A，B 两点，且 16|AB|24，O 为坐标原点记直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，则1k11k2的取值范围是( ) A2， 2 2，2 B 2，11， 2 C2，11，2 D 2， 2 1B 解析：由题意可知拋物线 y28x 的焦点 F 的坐标为(2，0)过点 F 的直线与该抛物线交于 A，B 两点，则可设直线 AB 的方程为 xmy2，A

18、(y218，y1)，B(y228，y2)联立xmy2，y28x，得 y28my160，则 y1y28m，y1y216，所以1k11k2y18y28m，|AB|（1m2）（y1y2）2（1m2）（y1y2）24y1y28(1m2)又因为 16|AB|24， 即 168(1m2)24， 解得 2m1 或 1m 2， 所以1k11k2的取值范围是2，11， 2故选 B. 2(2019 河北唐山三模)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线的夹角为，且cos 13，则双曲线 C 的离心率为( ) A.52 B.62 C.72 D2 2 B 解析： ab0， 渐近线 ybax 的斜率小

19、于 1， 又两条渐近线的夹角为 ， cos 13，则 cos2223，sin2213，tan2212，即c2a2a212，e232，e62.故选 B. 3(2019 广东湛江二模)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，经过原点 O 的直线与椭圆 C相交于点 A， B.若|AF|2， |BF|4， 椭圆 C的离心率为73， 则AFB 的面积是( ) A. 5 B2 5 C2 3 D. 3 3 C 解析： 设椭圆的左焦点为 F， 由椭圆的对称性可知|AF|BF|4， |AF|AF|2462a， a3.又 e73， c 7.由余弦定理可得 cosFAF1642824212，故 si

20、nFAF32. SAFBSAFF12|AF|AF|sinFAF1242322 3.故选 C. 4(2019 四川成都双流中学一模)已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，C 为圆(x1)2(y2)21 的圆心，则|MF|MC|的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 4B 解析：设抛物线 x24y 的准线方程为 l：y1，C 为圆(x1)2(y2)21 的圆心，所以 C 的坐标为(1，2)过 M 作 l 的垂线，垂足为 E.根据抛物线的定义可知|MF|ME|，所以|MF|MC|的最小值就转化为|ME|MC|的最小值由平面几何的知识可知，当 C，M，E 在一条直线上时，CEl，|ME

21、|MC|有最小值，最小值为 CE2(1)3.故选 B. 5(2019 河南郑州三模)已知椭圆 C1：x2a2y2b21 (ab0)与双曲线 C2：x2y291 有公共焦点，C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 C1恰好将线段 AB三等分，则( ) Aa2878 Ba212 Cb298 Db21 5.C 解析：双曲线 C2：x2y291 的焦点坐标为( 10 ，0)，a2b210.取 C2的一条渐近线 y3x，设与椭圆相交于点 M，N.联立y3x，x2a2y2b21，解得 x2Ma2b29a2b2，y2M9a2b29a2b2，|MN|24(x2My2M )40a2b

22、29a2b2.C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A， B两点，且 C1恰好将线段 AB 三等分，40a2b29a2b219(2a)2，与 a2b210 联立，解得 a2898 ，b298.故选 C. 6椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为53且经过点 Q(2，2 53)，其中 F1，F2为椭圆的左、右焦点 (1)求椭圆的方程； (2)从椭圆的第一象限部分上一点 P 向圆 x2y21 引切线 PA，PB，切点分别为 A，B，PF1F2的面积等于 15，求直线 AB 的方程 6解：(1)由题意可得ca53，4a2209b21，a2b2c2. 联立解得 a3，b2，c 5. 椭圆的

23、方程为x29y241. (2)由题意可知椭圆的焦点分别为 F1( 5，0)，F2( 5，0) 三角形 PF1F2的面积等于 15，点 P 在第一象限， 122 5yP 15，解得 yP 3. x2P9341，解得 xP32.P(32， 3) . 以 OP 为直径的圆的方程为 x(x32)y(y 3)0， 与 x2y21 相减可得 3x2 3y20. 直线 AB 的方程为 3x2 3y20. 7(2019 辽宁省实验中学等五校高三期末)已知抛物线 C 的方程 y22px(p0)，焦点为F，已知点 P 在 C 上，且点 P 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)试求出抛物线 C 的方

24、程 (2)若抛物线 C 上存在两动点 M，N(M，N 在 x 轴两侧)，满足 OMON(O 为坐标原点)，过点 F 作直线交 C 于 A，B 两点若 ABMN，线段 MN 上是否存在定点 E，使得|EM|EN|AB|4恒成立？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 7解：(1)因为点 P 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1，由题意和抛物线定义得p21，即 p2，所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2)存在定点 E(4，0)满足题意 当直线 MN 的斜率不存在时，设 N(n24，n)，n0， 由题意可得，n24nn4 或 n0(舍去)， 则 N(4，4)，M(4，4) 由

25、直线 AB 过点 F 且平行于 MN，可得|AB|4. 设 E(4，m)，则由|EM|EN|AB|4，可得（m4）（4m）44，解得 m0，所以 E(4，0)，满足题意 当直线 MN 的斜率存在时，由题意可知 kMN0. 设 M(y214， y1)， N(y224， y2)(y20y1) 由 OMON， 得 y1y216.直线 MN 的斜率 k4y1y2，所以直线 MN 的方程为 yy14y1y2(xy214)，整理可得 y4y1y2(x4) 由题意，得直线 AB 的方程为 yk(x1)，与 C 的方程联立得 ky24y4k0. 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 yAyB4k，yAy

26、B4. 所以|AB|11k2|yAyB|4(11k2) 若点 E 存在，设点 E 坐标为(x0，y0)， 则|EM| |EN|11k2(y0y1)11k2(y2y0)(11k2) y1y2y20(y1y2)y0(11k2)(16y204y0k) 当|EM|EN|AB|4 时，16y204y0k16， 解得 y00 或 y04k(舍去)， 则点 E 为(4，0)经检验，此点在线段 MN 上且满足题意 综上所述，定点 E 为(4，0) 8(2019 辽宁丹东二模)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点P 是椭圆 C 上的一点，若 PF1PF2，|F1F2|2，

27、F1PF2的面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过 F2的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， 设 O 为坐标原点， 若OEOAOB， 求四边形 AOBE面积的最大值 8解：(1)由题设|PF1|2|PF2|24，12|PF1|PF2|1， a|PF1|PF2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|2 2. 又 c1，b a2c21. 椭圆 C 的方程为x22y21. (2)由题设知 AB 不平行于 x 轴，故设直线 AB：xmy1. 联立xmy1，x22y21，得(m22)y22my10， 则 8(m21)0，解得 y1，2m 2（m21）m22. OEOAOB，四边

28、形 AOBE 为平行四边形 平行四边形 AOBE 的面积 S2SAOB|y1y2|2 2 （m21）m222 2m211m21. m211m212，当且仅当 m0 时取等号， 四边形 AOBE 面积的最大值为 2. 9(2019 重庆沙坪坝区高三模拟)如图，C，D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，A，B 是直线 x4 上两个动点，连接 AD 和 BD，它们分别与椭圆交于 E，F 两点，且线段 EF 恰好过椭圆的左焦点 F1.当 EFCD 时，点 E 恰为线段 AD 的中点 (1)求椭圆的方程 (2)求证：以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切 9(1)解：

29、当 EFCD 时，点 E 恰为线段 AD 的中点， ac4c.又 eca12，联立解得 c1，a2，b 3， 椭圆的方程为x24y231. (2)证明：设 EF 的方程为 xmy1，E(x1，y1)，F(x2，y2) 联立x24y231，xmy1，化为(3m24)y26my90， 36m236(3m24)0， y1y26m3m24，y1y293m24. 又设 A(4，yA)，由 A，E，D 三点共线得 yA6y1x126y1my13，同理可得 yB6y2my23. yA yB6y1my136y2my23 62my1y23（y1y2）m2y1y23m（y1y2）9 62m93m2436m3m24

30、m293m243m6m3m2496m. |yAyB|6y1my136y2my23|18|y1y2|m2y1y23m（y1y2）918（6m3m24）2493m24m293m243m6m3m2496 m21. 设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为(4，yAyB2)，即(4，3m)， 点 M 到直线 EF 的距离 d|43m21|1m23 m2112|yAyB|12|AB|. 故以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切 10 (2019 江苏苏州三模)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)过点 D(1，32)， 右焦点为 F(1，0)，右顶点为 A.过点 F 的直线交椭圆于 B，C

31、两点，直线 BA 和 CA 分别交直线 l：xm(m2)于 P，Q 两点 (1)求椭圆的方程； (2)若 FPFQ，求 m 的值 10解：(1)由题意得1a294b21，a2b21，解得 a24，b23， 所以椭圆的方程为x24y231. (2)设 B(x0，y0)，则直线 BC 的方程为 yy0 x01 (x1)， 与椭圆 E：x24y231 联立，得方程组yy0 x01（x1），x24y231， 解得 xx0，yy0或 x85x052x0，y3y052x0，所以 C(85x052x0，3y052x0)，kABkACy0 x023y052x085x052x02y0 x023y0 x023y2

32、0 x2049（1x204）x20494. 显然 kABkAP，kACkAQ，所以 kAPkAQ94 . 设 Q(m，y1)，则 kFQy1m1y1m2m2m1m2m1kAQ， 同理 kFPm2m1kAP， 所以 kFPkFQ(m2m1)2kAPkAQ94(m2m1)21. 又 m2，所以m2m123，所以 m4. 压轴大题突破练(2) 1(2019 山东临沂、枣庄二模)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，抛物线 C：y212ax 的焦点为 F若在 E 的渐近线上存在点 P 使得 PAFP，则 E 的离心率的取值范围是( ) A(1，2) B(1，2 33 C(2，

33、) D2 33，) 1B 解析：双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点 A(a，0)，抛物线 C：y212ax的焦点为 F(3a，0)，双曲线的渐近线方程为 ybax，可设 P(m，bam)，则AP(ma，bam)，FP(m3a，bam)由 PAFP，可得APFP0，即(ma)(m3a)b2a2m20，整理得(1b2a2)m24ma3a20.由题意可得 16a24(1b2a2) 3a20， 即 a23b23(c2a2)， 则 3c24a2，所以 eca2 33.由 e1，可得 10)的焦点为 F，O 为坐标原点设 M 为抛物线上的动点，则|MO|MF|的最大值为( ) A. 3

34、B1 C.33 D.2 33 3 D 解析： 设抛物线上点 M(m， n)(m0)， 则 n22pm， 可得|MO|m2n2 m22pm.由 抛 物 线 的 定 义 得 |MF| m p2， 所 以|MO|MF|m22pmmp2m22pmm2pmp241pmp24m2pmp24. 令 pmp24t， tp24， 则 mtpp4， 所以|MO|MF|1tt2p23t29p21611tp2329p216t1132 33，当且仅当tp29p216t，即 t3p24时，等号成立故选 D. 4(2019 福建福州二模)已知 O 为坐标原点，过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F作一条直线，

35、与圆 x2y2a2相切于点 T，与双曲线右支交于点 P，M 为线段 FP 的中点若该双曲线的离心率为 3，则|MF|OM|TF|( ) A.24 B.22 C. 2 D2 4B 解析：如图所示，设 F是双曲线的右焦点，连接 PF.点 M，O 分别为线段 PF，FF的中点，由三角形的中位线定理可得|OM|12|PF|12(|PF|2a)12|PF|a|MF|a.连接 OT，由 PT 是圆的切线，得 OTFT.在 RtFOT 中，|OF|c，|OT|a，所以|FT|OF|2|OT|2b，可得|MF|OM|TF|ab.双曲线的离心率为 3，可得 c 3a，即 b c2a2 2a，可得ab22.故选

36、B. 5(2019 安徽黄山三模)已知 P 是圆 C：(x2)2(y2)21 上一动点，过点 P 作抛物线 x28y 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 斜率的最大值为( ) A.14 B.34 C.38 D.12 5B 解析：根据题意，PA，PB 的斜率都存在，分别设为 k1，k2，其切点 A(x1，y1)，B(x2， y2) 设 P(m， n)， 过点 P 的抛物线的切线方程为 yk(xm)n， 联立yk（xm）n，x28y，整理可得 x28kx8km8n0，则64k232km32n0，即 2k2kmn0，且 k1k2m2，k1k2n2.又由 x28y，得 y18x2，则 y14

37、x，所以 x14k1，x24k2.又由 x28y，则y12k21，y22k22，则 kABy2y1x2x12k222k214k24k1k2k12m4.因为 P 是圆 C：(x2)2(y2)21上一动点，所以 1m3，则 kABm434，即直线 AB 的斜率最大值为34.故选 B. 6(2019 广东珠海二模)椭圆 T 的中心在原点，左焦点 F1(1，0)，长轴长为 2 2. (1)求椭圆 T 的标准方程； (2)过左焦点 F1的直线交曲线 T 于 A， B 两点， 过右焦点 F2的直线交曲线 T 于 C， D 两点，凸四边形 ABCD 为菱形，求直线 AB 的方程 6解：(1)设椭圆 T 的方

38、程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为 2c. 由题意可知 c1，2a2 2，故 b a2c21， 所以椭圆 T 的方程为x22y21. (2)由椭圆的对称性可知菱形 ABCD 的中心为原点 O，则 OAOB. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2y1y20. 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x1， 代入椭圆方程可得 x1x21，y122，y222， 显然 x1x2y1y20，不符合题意所以直线 AB 的斜率存在 设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x1)， 代入椭圆方程得(12k2)x24k2x2k220， 所以 x1x22k2212k

39、2，x1x24k212k2， 则 y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k212k2， 所以2k2212k2k212k20，解得 k 2. 所以直线 AB 的方程是 y 2(x1)或 y 2 (x1) 7(2019 青海西宁四中、五中、十四中三校联考)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，椭圆过点(1，32) (1)求椭圆 C 的方程 (2)若 A，B 为椭圆的左、右顶点，P(x0，y0)(y00)为椭圆上一动点，设直线 AP，BP 分别交直线 l：x6 于点 M，N，判断以线段 MN 为直径的圆是否经过定点若过定点，求出

40、该定点坐标；若不过定点，说明理由 7解：(1)由已知 c1，a2b21. 椭圆过点(1，32)，1a294b21. 联立得 a24，b23，椭圆方程为x24y231. (2)设 P(x0，y0)，已知 A(2，0)，B(2，0) y00，x02，AP，BP 的斜率都存在， kAPy0 x02，kBPy0 x02，kAPkBPy20 x204. x204y2031，y203(1x204) 将代入得 kAPkBP3（1x204）x20434. 设 AP 的方程为 yk(x2)，BP 的方程为 y34k(x2)， M(6，8k)，N(6，3k) 由对称性可知，若存在定点，则该定点必在 x 轴上设该定

41、点为 T(t，0)， 则TMTN，TMTN(6t，8k) (6t，3k)(6t)2(24)0， (6t)224，t6 2 6， 存在定点(62 6，0)或(62 6，0)，以线段 MN 为直径的圆恒过该定点 (2019 广西柳州高三一模)如图，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 为椭圆 C 上任意一点，A 关于原点 O 的对称点为 B，有|AF1|BF1|4，且F1AF2的最大值为3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若 A是 A 关于 x 轴的对称点， 设点 N(4， 0)， 连接 NA 与椭圆 C 相交于点 E， 直线 AE与 x 轴相交

42、于点 M，试求|NF1|MF2|的值 8.解：(1)由椭圆的对称性可知|BF1|AF2|， |AF1|BF1|AF1|AF2|4， 故 2a4，即 a2. 又当 A 为椭圆的短轴顶点时，F1AF2取得最大值，b 3c， 又 b2c2a24，a2，b 3，c1. 椭圆方程为x24y231. (2)设直线 AN 的方程为 yk(x4)， 代入椭圆方程x24y231 得(34k2)x232k2x64k2120. 设 A(x1，y1)，E(x2，y2)，则 x1x232k234k2，x1x264k21234k2. A(x1，y1)，直线 AE 的方程为yy1y2y1xx1x2x1. 令 y0，可得 x

43、y1（x2x1）y2y1x1x1y2x2y1y1y2x1k（x24）x2k（x14）k（x14）k（x24）2kx1x24k（x1x2）k（x1x2）8k264k21234k2432k234k232k234k281. M(1，0)，|MF2|0，|MF1|MF2|0. 9(2019 河南郑州高三二模)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，若AF1F2的周长为 42 3，且面积的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A，B 是椭圆 C 上两动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB 的斜率分别为 k1，k2(O

44、为坐标原点)，且 k1k214，求|OP|的取值范围 9解：(1)由椭圆的定义可得 2(ac)42 3，所以 ac2 3. 当 A 在上(或下)顶点时，AF1F2的面积取得最大值，即最大值为 bc 3. 由及 a2c2b2联立求得 a2，b1，c 3， 可得椭圆方程为x24y21， (2)当直线 AB 的斜率 k 不存在时，直线 OA 的方程为 y12x 或 y12x， 此时不妨取 A( 2，22)，B( 2，22)，P( 2，0)，则|OP| 2. 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykxm， 联立ykxm，x24y24，消去 y 得(4k21)x28kmx4m240

45、， 64k2m24(4k21)(4m24)16(4k2m21) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28km14k2，x1x24m2414k2. k1k214，4y1y2x1x20， 4(kx1m)(kx2m)x1x2(14k2)x1x24km(x1x2)4m24m2432k2m214k24m20. 整理得 2m24k21，m212，16m20. 设 P(x0，y0)，x0 x1x222km，y0kx0m12m， |OP|2x20y204k2m214m2234m212，2) |OP|的取值范围为22， 2) 综上，|OP|的取值范围为22， 2 (2019 河北衡水桃城区高三一模

46、)已知抛物线 y24x 的焦点为 F， ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FBFCFA. (1)求证：B，C 两点的纵坐标之积为定值 (2)设 ABAC ，求 的取值范围 10(1)证明：设 A(y204，y0)，B(y214，y1)，C(y224，y2)，F(1，0)， FA(y2041，y0)，FB(y2141，y1)，FC(y2241，y2) FBFCFA，y2141y2241y2041，y1y2y0， y21y22y204，(y1y2)2y20， y2042y1y2y20，y1y22，即 B，C 两点的纵坐标之积为定值 (2)解：由FBFCFA得四边形 ABFC 为平行四边形， 故 ABACCFBF(1y214)(1y224)(y1)(y2) 1(y214y224)y21y2216y1y2 1y20444162 14y207474， 故 的取值范围是(，74