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1、几种创新思维方法,重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂。,现实世界,数学世界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。,始于现实世界并终于现实世界,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，,* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧.,* 有一些普遍适用的思想方法与思维方式.,整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成,怎样构架这座桥梁？,数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。,数学创新思维,.等等.,类比思维,归纳思维,逆向思维,发散思维,猜测思维,掌握几类方法：问
2、题解决法、思想表达法、创造发明法.,方法的共同特点： 不轻易否定别人的意见， 怀疑一般常识， 努力发现别人尚未察觉的事物等,以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法,对于创造能力的培养不可或缺,一、打开思路的方法,面对新问题，应尽量打开自己的思路：,发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分,1. 不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.,2. 尽量多一些想法，多一些猜测。,思考、思考、再思考.,帮助展开思路的方法：,关键词联想法,提问题法,1.提问题法,面临难题, 束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.,如：,(l) 这个问题和什么问题相类似？,(2) 假如变
3、动问题的某些条件将会怎样？,借助于一系列问题来展开思路.,(4) 重新组合又会怎样？,(3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样？,为进一步打开思路可提以下问题：,(5) 我们还可以做什么工作？,(6)有无需要进一步完善的内容？,(7) 可否换一种数学工具来解决此问题？,针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。,例1 穿越公路问题,一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.,增设“斑马线”
4、需考虑哪些方面的问题？,1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的 利益更为重要？,公路情况: 是否有弯道？车道间是否设 有安全隔离带？,3. 车流情况：车流的密度大小？,4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性质？,问题分析 此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响, 类似于渡口模型,可采用统计模拟方法加以解决.,一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.,例2 电饭煲销售问题,怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由
5、此分析出一些有用的结果以指导生产.,想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？,分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为,t0,改写为,数学分析,1. 若 r0，则S0，随着 ,则,2. 若 r0，讨论Logistic曲线特征,N(t) 是单调上升函数.,K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.,人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓。,(1) 一般每户只需用12只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；,电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.,Logistic模型特点：初期高速增长，过
6、一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.,对原问题的分析：,(2) 初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.,记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型,来描述电饭煲的销售速度变化情况.,实际情况与Logistic销售曲线十分吻合,思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？,现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失. 大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散
7、撤离.,例3 “9.11”事件的反思,一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.,问题分析 演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程,应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如,* 一个房间内人员的撤离；,* 一个通道的撤离；,* 一层楼人员的撤离；,最后，将各个子问题重新组合起来.,2.关键词联想法,主要步骤如下：,(1) 抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；,(2) 把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；,(3) 再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思
8、路与步骤.,一种有效的发散思维方式.,例4一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？,分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.,联想：安全 、危险,问题的关键,*圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,新问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）,可利用的数据条件：,圆桶的总重量 W=527.327（磅）,圆桶受到的浮力 B =470.327（磅）,圆桶下沉时受到的海
9、水阻力 D=Cv，C=0.08,可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：,方程的解为,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 ?,分析：考虑圆桶的极限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,原问题得到解决了吗?,极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！,结论：解决问题的方向是正确的.,解决思路：避开求t0的难点,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度.,代入（1）得,两边积分得函数方程：,若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试),* 用数值方法求出v(300)的近似值为,v(300)45.41(英尺/秒)40(英尺/秒),
10、* 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y = y(v),令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出,y= 238.4 (英尺)300(英尺),问题的实际解答：,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.,在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应,例5 飞行管理问题,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立
11、数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为： 试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.,计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：,* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.,* 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.,* 联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.,立即 判断,碰撞,条件,实时,算法,避免 碰撞,调整 方向角,实时,幅度尽量小,相对,距离,优化问题,优化算法,优化调整方案,问题的初步理解和想法:
12、,飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.,思考题：尝试读题与分析,强烈的碰撞,美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。,假如小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产
13、区域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。,强烈的碰撞读题分析,撞击,爆炸？,后果,冲击波,地震、海啸、飓风,热能释放,冰融,海岸线上升,洪水,放射物,粉尘放射,减少日照、大气层变化,人员伤亡,所在地区,沿海,海啸、地震、洪水、放射物,食物生产区的破坏,冰融,对地球运行轨迹的影响,相关因素：,小行星形状、成分与密度,撞击角度、速度、位置（运行轨迹）,太阳、地球、月亮轨道,能量来源,引力、动能,南极冰盖的成分（深度、密度、温度）,冰融的估算,以及冰盖下的成分,大气环流,粉尘的传送,温室效应,相关理论：,Newton引力模型,轨迹,碰撞的动力学,冰的
14、热力学（冰融、汽化）、热传导,生态系统（磷虾.krill）,水温,后期工作：,预测与预警,二、整体把握问题的方法,有两种把握住问题的全貌的有效方法：,(1) 层次结构法,(2) 问题分解法,有专著介绍,问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.,将问题分解为“三要素”的三个部分.,问题分解三要素,初态,目标态,过程,觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).,觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).,能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).,常见数学题目模式,已知,求（证）,解题,初态,目标态,过程,主要目标,* 解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很
15、困难.,* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.,尽量拓展思路的基础上, 再进行充分分析得到的问题分解结果：,飞行管理问题,初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件,过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.,目标态：实时调整，避免碰撞。,课后练习题目：“气象观察站调整问题”前期问题分析与问题分解。,气象观察站调整问题,某地区内有12个气象观察站（位置如图),有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.,问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？,如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的
16、思路。,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,问题：怎样比较信息的大小？ 信息的多少能不能度量？,降水量的信息量仍然足够大？,学生作业总结评讲,1. 问题分析,首先找出问题中的关键词，进行联想.,减少 站数,删除原则,各站关系,降水数据,保持 信息量,足够大,衡量指标,衡量指标,熵,降水数据,2. 问题的分解,初态：12个气象站的年降水数据。,（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件.）,目标态：减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量.,过程：（将做的事情）,(1) 信息量的衡量（用熵）；,(2) 给出删除气象站的条件及原则；,(3) 建立保持足够信息量的判别条
17、件；,解决问题的惟一出发点,(1) 确定各气象站的年降水量：,的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值.,(2) 分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性的)，并据此保留其中熵值较大的气象站.,随机变量,另一种方法：用聚类分析法进行聚类.,3.解决问题的思路,（可由降水数据分析各个气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等.）,统计检验,1) 设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值的气象站；,2) 使保留气象站的信息量总和占原信息量总和的一定比例.,可考虑各种判别条件，如 ：,(3) 建立保持足够信息量的判别条件,注：阈值或比例值均需背景知识和经验来确定。,仍保留降水量的信息量较大的站。,努力不一定成功,放弃一定是失败,
