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1、3.3.2函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)增函数,f(x)减函数,巩固：,定义域R,f(x)=x2-x=x(x-1),令x(x-1)0, 得x1， 则f(x)单增区间（，0）,（1，+）,令x(x-1)0,得0 x1, f(x)单减区(0,1).,注意:求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接,（第一步）,解：,（第二步）,（第三步）,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,极值,x
2、2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f(x)=0的根（3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,小结,因为 所以,例1 求函数 的
3、极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ;当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,变式,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,求下列函数的极值:
4、,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.,点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数,而x10，x1
5、.再代入f(x1)或f(x2)，得a2.a2，b0.,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,思考1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 f (x0)=0,则f (x0)必为极值； f (x)= 在x=0 处取极大值0，函数的极小值一定小于极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值,有极大值和极小值,求a范围?,思考2,解析 :f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数,解得 a6或a3,练习1： 求 在 时极值。,
6、练习2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与 x=-1 处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.,练习3： 已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,练习4 ： 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.,小结：,1个定义: 极值定义2个关键： 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：确定定义域求f(x)=0的根并列成表格 用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开 区间，并列成表格由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,
