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1、,第五章 分析力学,5.1约束与广义坐标,一、约束及分类,1 . 力学体系：有相互作用的质点的集合，该集合称为力学体 系简称体系 ,即第二章所讲的质点组,2. 约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。 约束方程，如：,3.分类：,1）稳定和不稳定约束,约束方程中不显含t，称为稳定约束。如：,约束方程中显含t，称为不稳定约束。如：,如：小虫在吹着的气球上运动，,注：1）q不一定是线量，可以是面积，体积，电极化强度等 2）q可自由选取，但必须方便确定体系的位置， 3）几何约束下，独立坐标数=自由度=广义坐标数=3n-k,5.2虚功原理,一、实位移，虚位移,1. 实位移：质点在运动中实际发生
2、的位移，,它总是与时间的改变相伴随，,4）广义坐标的确定，一方面可通过对力学体系运动的分析，确定需要多少个独立变量才能确定其位形，一方面可通过 的方式确定,由于约束，3n个坐标不完全独立，系数全为零则可能变为n个自由质点的平衡方程,变化率乘变化量,实际就是质点或刚体在广义坐标下的平衡时的条件,小结：1.约束的分类 2.广义坐标 3.实位移 与虚位移 4.理想约束 5.虚功原理： 条件：理想完整约束利用虚功原理处理理想约束平衡问题的步骤 （1）建立固定坐标系（2）确定广义坐标（自由度），并把主动力的作用点的直角坐标用广义坐标表示 （3）利用虚功原理求解,核心思想是把动力学问题转换为静力学问题来研
3、究,令,则,在数学上就是求复合函数的微商,二、保守系的L方程,o,例1、应用拉格朗日方程求单摆的动力学方程,解：由题意受理想完整约束，可用保守系下的拉格朗日方程求解。 (1)自由度确定。受绳子约束，所以小球运动的自由度为1， （2）选广义坐标。如右图所示选 为广义坐标（3）计算动能势能。以O为零势能点,（4）代入保守系下的拉格朗日求解。拉氏函数,杆受到平面的约束,相应于广义坐标,x,z,y,O,与采用非惯性系，所得的动力学方程一样，可见拉格朗日方程的优势所在,选 为广义坐标,小六面体对角线长的平方,方法二：在球坐标系下求解,球坐标与直角坐标间的变换关系：,对点O的力矩,对z轴的力矩,O,x,解
4、方程并讨论： 给出初始条件，可求出全部运动情况，若只求加速度，在 的情况下，代入上两式可得,（方向向上）,五、能量积分,设一完整保守系，有s个自由度,因,仅是 和 t 的函数，所以 不含,若体系是稳定的，可以适当选取广义坐标，让 不含t,即,则,在拉格朗日方程的两边同乘以,又 仅是 的函数，不是t的显函数，所以,如：质点在平面极坐标系运动的动能,积分得,积分常数即为能量，所以称能量积分，表明保守、完整，稳定的力学体系其机械能守恒，这与在稳定约束下，约束反力不做功，只有保守力做功，所得的结论一致。,若约束不是稳定的，则,T仍不是时间t的显函数，V也假定不是,广义能量,不能得出能量积分的原因？,微
5、观世界常说到动量空间和坐标空间，所以有了动量对时间的导数还应求得坐标对时间的导数,同时，拉氏函数的自变量也从 变成了,即,二、勒让德变换,一组独立变数变为另一组独立变数，同时函数本身也发生改变的变换,两个自变量的勒让德变换：,根据问题需要， 中，任何两个都可做为独立变量，若将 当做独立变量，则,此时，可将函数 改用为 表出，记为,但利用上述表达式，能推得,原函数对旧的独立变量 的偏微商能表达出 但对新的独立变量 的偏微商不能表达出,用新函数 便其对新独立变量 的偏微商表出 ；该新函数所具有的特点是：新的函数等于不要的变量乘以原函数对该变量的偏微分，再减去原函数。对多个变量的勒让德变换可依次类推
6、。这就是勒让德变换的规律或本质所在。,和 是等价的,u,y相互独立，,三、哈密顿正则方程,根据勒让得变换，要使拉氏函数的一种独立变数 变为 ，则应引入新的函数,拉氏函数仍是 的函数,有2s个独立变量,类比于xyz,2s个独立变量代表一个相点，随时间推移描述出一相轨迹,x,m,例1、一质量为m的质点受有心力作用，试写出其哈密顿函数和正则方程,O,解：取 为广义坐标，则,该式正是以正则变量表示的广义能量,例2.电子的运动，设电荷为-e的电子，在电荷为Ze的核电场中运动，Z为原子序数，试用正则方程研究电子的运动。,（4）根据哈密顿函数的定义，求哈密顿函数,由于是静电场，因而库仑力为保守力，,该体系属
7、于保守系,解（1）：确定是否为保守系。,（必须是广义坐标和广义动量的函数）,因是稳定约束，所以,此即用哈密顿方程求出的电子在核力场中的运动方程。,则,显得有些迂回曲折，但在复杂问题中，就能显示它的优越性,泊松扩号的性质：,1。若 c为常数 ，则,2。,3。若,则,利用和的微分等于微分之和,4。,每一项都涉及两函数对广义坐标和广义动量的偏微商,5。,6。,泊松恒等式,7。,二、泊松定理,1.运动积分,当力学体系运动时，若某一以广义坐标 ，广义动量 ，时间 为变量的函数始终保持为常数，即,则此函数就为正则方程的第一积分，它能反映体系的运动规律，所以也称为运动积分,换句话说，只要某函数 满足 ，则
8、即为正则方程的第一积分,约束为稳定约束时,满足泊松恒等式,从而得证,例1，一组质点只在保守力下运动，若xy两个方向的角动量为常数，则z方向的角动量也必定为常数，试用泊松定理证明之。,证：质点组相对各坐标轴的角动量为,y,x,z,由题设条件,那么根据泊松定理,若能证明 ，则证之。,由泊松括号的定义或者说计算得：,又,所以,5.7哈密顿原理,一、变分 1.微分,2.变分的运算法则：,证明：,二、哈密顿原理,仅研究保守力系作用下的哈密顿原理,与拉格朗日方程一样，是在由s个广义坐标所描述的s维位形空间中研究力学体系的运动规律，s维位形空间与时间t构成了s+1维空间,位形空间中的一个点表示就表示体系在某
9、一瞬时的位置。随时间的推移，则体系在位形空间描述出一条且仅有一条曲线，反映体系的真实运动，遵从动力学规律，该曲线即为真实轨道，若设该体系起始和终止的时间分别用A和B点表示，如图，实线AMB就表真实轨道。,但在相同条件下，体系为约束所许可的与真实路径非常接近的可能路径，则有许多条，用虚线AMB表示其中任意一条,在任意一瞬时t,可能路径对真实路径的偏离用等时变分表示，真实路径上M点的坐标为 ，而可能路径上对应M的坐标为 【注意区别于真实轨道上，由于自变数经历时间dt而引起的差异，如 】,则真实运动的拉格朗日函数为：,可能运动的拉格朗日函数为：,拉格朗日函数的等时变分即为：,对该方程的两边，同时对时
10、间进行积分有,因两端点固定，变分为零,而要使得可能轨道与真实轨道重合，或者说从诸多可能轨道挑出真实轨道，则,由于诸多 广义坐标相互独立，所以,即为力学体系运动时所满足的拉格朗日方程，也就从可能轨道中挑出了真实轨道，所要求的条件是,该等式即为哈密顿原理,令,则 ， S称为哈密顿作用函数,该过程实际就是从哈密顿原理导出拉格朗日方程的过程,该条件实际就是极值条件，所以哈密顿原理可以阐述为在完整的保守系统中，具有相同时间间隔和始末位置的一切可能运动与真实运动相比，对真实运动哈密顿作用具有极值。,例1. 由L方程推出哈密顿原理,应用哈密顿原理时常用到的变换,是为了便于积分,利用两端点变分为零,例2.试用哈密顿原理导出正则方程,解：由哈密顿函数的定义,由哈密顿原理可得,微分变换消去,例:5.6,例3.试用哈密顿原理解上题,
