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1、1.1.1变化率问题,第一类问题：研究物体运动的瞬时速度问题；,第二类问题：求曲线的切线问题；,到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，人们提出了四类亟待解决的数学问题：,第三类问题：求函数的最大值和最小值问题；,第四类问题：求长度、面积、体积和重心等问题.,微积分的创始人,发现了解决四类问题的一般方法,情境应用，感知概念,(1) 在股市中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的收益吗？,情境1:,(2) 甲、乙两人投入相同的资金，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的收益吗？
2、,仅考虑一个变量的变化是不行的,海南最近12个月新房价格走势海南在售新房均价：26683 元/平方米(仅供参考),情境2:,问题:如何刻画变化的快与慢呢？,情境应用，感知概念,高台跳水,在0秒到0.5秒时间段内运动员的平均速度?,在1秒到2秒时间段内呢?,求求看：,运动员距水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t（单位:秒）存在函数关系,若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么求:,在t1到t2秒内呢？,(m/s),(m/s),比较各次打气后的气球,你观察到了什么现象?,用打气筒打气球，若每次都打入相同体积的气,思考：能否构建一个函数模型,描述这种现象？ (假定气球是理想的球,且不
3、会被吹爆),小实验：,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢,气球:第一次打1升 第二次打1升 第三次打1升,当空气容量V从0增加到1L时，,气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2L时，,气球的平均膨胀率为,体会一下:,当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？,想一想：,式子 称为函数 y=f (x)从x1到 x2的平均变化率.,定义,它反映了函数变化的快慢.,是一个整体符号，而不是 与 相乘.,理解：1，式子中x 、 y 的值可正、可负，但 的x值不能为0， y 的值可以为02，若函数f (x)为常函数时， y =0 3, 变式,练习:,1.甲用5年时间挣到
4、10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?,2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.,(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .,做两个题吧!,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x,平均变化率的求解步骤：,（1）求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);（2
5、）计算平均变化率,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A（-1,-2）及临近一点B（-1+x,-2+y），则y/x=（ ） A . 3 B. 3x-(x)2 C. 3-(x)2 D. 3-x,D,随堂练习,2 、函数 在区间 上的平均变化率是（ ）,A.4 B.2,B,3、函数 在区间1，1.5上的平均变化率为_.,5,解：由平均变化率的公式,观察函数 f (x) 的图象, 平均变化率,表示什么?,平均变化率的几何意义曲线上两点对应割线的斜率.,试一试,已知一次函数 在区间-2，6上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.,解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2， 设直线方程为y=2x+b, 又因为直线经过点（0，2）， 代入方程得b=2. 则直线方程为：y=2x+2.,平均变化率的定义:,几何意义:曲线割线的斜率.,由特殊到一般,数形结合,由具体到抽象,交流与反思,探究,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.,课后探究:,(1)搜集微积分的发展史资料；(2)生活中的变化率问题的例子；(3)物理中如何求瞬时速度.,谢谢！,
