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1、第三节 多自由度体系的振动,运动微分方程式的建立及求解 振型向量的概念 ；自由振动频率和振型计算示例 ；,3.1 运动微分方程式的建立及求解 一、刚度法,刚度法：由各质点力的平衡条件建立运动微分方程；,按照位移法的概念求解：对体系所有的独立位移都施加相应的约束；,如质点1受力： 惯性力： 各约束的反力：约束是虚设的，这些反力之和应为零。质点1的平衡方程式为：,b. 依次给予约束一单位位移。在此位移影响下，其它约束均产生反力。,一、刚度法,同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力平衡方程式，即用刚度法推导的多自由度体系自由振动时的运动微分方程式。,写成矩阵形式为：,也可以写成：,一、刚度法,
2、设微分方程式的特解为：,X 称为体系的振幅向量：,各质点按同一频率同一位相作简谐振动。可写成 ：,体系自由振动时的圆频率，简称为频率或自振频率。,方程特解：,即 ：,这是一组X的线性齐次方程式组。欲使振幅向量X存在非零解，即体系发生振动，则必须有：,则 ：,由此可以求出n个自由振动频率。按其数值由小到大排列为12n。其中最小频率称为基本频率。,这个方程称为频率方程，未知量为频率。将上式展开为：,二、柔度法,柔度法：由各质点运动的位移协调条件建立微分方程；,按照力法的概念求解：确定体系的振动自由度；,如质点受力： 惯性力： i点位移：,b. 依次给予质点施加一单位力。在此力作用下，各质点产生的位
3、移。,即：,二、柔度法,同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力位移方程式，即用柔度法多自由度体系自由振动时的运动微分方程式。,写成矩阵形式为：,也可以写成：,二、柔度法,其中：F 称为体系的柔度矩阵，与刚度矩阵K互为逆矩阵；,即：,I单位矩阵。,设微分方程式的特解为：,代入微分方程得：,二、柔度法,其中：F 称为体系的柔度矩阵，与刚度矩阵K互为逆矩阵；,I单位矩阵。,设微分方程式的特解为：,代入微分方程得：,方程有非0解X条件，系数行列式得值为0，即：,这就是柔度法表示的体系的频率方程，可展开为：,可从此方程中解出n个自由振动频率12n 。,3.2 振型向量的概念,未知量为和X。转化为求
4、特征值的问题。括弧内方阵，称为特征矩阵，为特征值，X 称为特征向量。求解特征值的方法通常用迭代法。由频率方程求出每一个后，逐个将它们代入上式，就会获得X的非零解。方程的解X不唯一，有无穷解。在振动过程中，对于每一个值，各质点振幅之间有一个固定的比例，即有一个确定的振型，但只是无法确定各质点振幅的绝对值而已。 对于任一个频率i ，就有一个主振型向量Xi与之对应。一般规定X中的某元素为1，这样振型就有了确定值，这样的主振型向量称为标准化振型向量，用表示。是无穷多个X中的其中之一。,3.3自由振动频率和振型计算示例,例 3-1 悬臂梁上作用3个质量分别为 m1=m2=m, m3=0.5m 的质点,梁
5、的EI为常数，试求此体系的自振频率和振型。,解 (1) 求频率,用柔度法。可分别在1、2、3点作用单位力，画出弯矩图，利用图乘法就可以求出各柔度系数值fij。,把求得的系数代入柔度法频率方程：,解上述方程可得：,（2）求振型：,则振型向量为：,振型图如下：,则振型向量为：,振型图如下：,振型的动态显示,例3-2 单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁上，m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的惯性矩。 I1=3.26710-3m4, I2=2.6110-3m4, I3=1.30710-3m4,横梁I4=，材料弹性模量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振
6、频率和振型。,解: (1) 体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数,（2）求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程。,令 则：,方程的实根为：,刚架的三个自振频率为：,（3）求振型 将计算的结果代入方程：,将 代入上式，令1（3）=1，展开任意两个方程可解得： 1(1)=0.3332 ， 1(2)=0.6665 ，第一主振型为： 1= 0.3332 0.6665 1 T,将 代入上式，令2（3）=1，同样可解得： 2(1)=-0.6665 ， 2(2)=-0.6665 ，第二主振型为： 2= -0.6665 -0.6665 1 T,将 代入上式，令3（3）=1，同样可解得：第三主振型
7、为： 3= 4.0 -3.0 1 T 或3= 1 -0.75 0.25 T,（4）刚架的振型图,振型的动态显示,3.4 主振型的正交性,主振型的正交性是指：在同一体系中，任何两个不同的主振型向量Xi和Xj(ij)，都满足下列关系式：,对于标准化的振型向量，也同样具有正交性 ：,矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量i时, 它们的乘积等于一个数:,Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.,主振型的正交性可通过功的互等定理证明。主振型的正交性说明各振型的能量是相互独立的，不会相互转移。可利用振型的正交性来校核计算出的主振型向量是否正确。,3.5 多自由度体系自由振动的通解,它的代表形式是：,自由振
8、动微分方程的特解:,自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合，即 :,组合系数i和初位相i可由振动的初始条件确定；在一般情况下系统振动时，其位移向量中包含了各个主振型成分，是一个复杂的运动，只有当体系的初始位移和初始速度满足一定的条件时体系才按主振型振动。振型向量Y一般可以看成是系统各主振型向量的某种线性组合:,振型组合系数的确定：,考虑到振型的正交性, 等式右边的多项式中, 除只有i=j 一项不等于零，而等于广义质量Mj 外，其余各项均为零。 故,对上式两边左乘 则：,综上所述，根据结构自身的质量矩阵M、刚度矩阵K或柔度矩阵F，可计算结构的各阶自振频率i和主振型向量i ，进一步可计算振型组合系数i ，最终可求得系统振动时的振型向量Y。,其中广义质量Mj ：,多自由度体系自由振动的计算步骤：,建立体系自身的质量矩阵M：,计算系统振动时的振型向量Y。,根据频率方程计算结构的各阶自振频率i,计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵F：,计算结构的主振型向量i,计算振型的组合系数j,返回目录,
