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1、基本不等式与对勾函数一、知识梳理1、基本不等式的基本形式：（1），则，当且仅当时取等号。（2），则，当且仅当时取等号。2、公式变形：（1）；（2）；3、求最值：当为定值时，有最小值；当或为定值时，有最大值（）。4、运用基本不等式时注意深刻理解“一正”、“二定”、“三相等”的意义。5、对勾函数的图像与性质性质：（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即（4）图像在一、三象限当时，由基本不等式知（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x0时，在x=时，取最大值（5）单调性：增区间为（），（）减区间是（0，），
2、（,0）二、典型例题例1、下列说法结论正确的是（）A的最小值是2B的最小值是2C的最小值是4D的最小值是5变式1、下列结论正确的是（）A当且时，B时，C当时，的最小值为2 D时，无最大值例2、（1）设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A8 B4 C1 D（2）已知，且，则的最小值为（3）若，则的最小值为（4）若，则的最小值为（5）已知，则的最大值为（6）已知，则的最大值为（7）已知，则的最大值为变式2、（1）已知，且，求的最小值。（2）已知，且，则的最小值为（3）若，则的最小值为（4）若，则的最小值为（5）已知，则的最大值为（6）已知，则的最小值为（7）已知，则的最大值为例3、已知正数x、y
3、满足，则的最小值为变式3、已知正数x、y满足，则的最小值为例4、（1）若，且，则的最大值为（2）已知，且，则的最小值为（3）已知，且，则的最小值为变式4、（1）设是满足的正数，则的最大值为（2）已知，且，则的最小值为例5、若正数满足。（1）求的取值X围。(2）求的取值X围。变式5、若正数满足。（1）求的取值X围。(2）求的取值X围。例6、（1）若，则的最小值为（2）若，且，则的最大值为变式6、（1）若，则的最小值为（2）若，且，则的最大值为例7、（1）已知，则的最小值为（2）已知，则的取值X围为（3）已知，则的取值X围为（4）已知，则的取值X围为变式7、（1）已知，则的最小值为（2）已知，则的
4、取值X围为（3）已知，则的取值X围为（4）已知，则的取值X围为例8、（1）已知，则的最小值为（2）已知，则的取值X围为（3）函数的最小值为变式8、（1）已知，则的最大值为（2）已知，则的取值X围为（3）已知，则的取值X围为（4）函数的最小值为（5）函数的最小值为例9、（1）已知正数满足，则使不等式恒成立，求的取值X围。（2）已知不等式（）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为变式9、（1）已知正数满足，则使不等式恒成立，求的取值X围。（2）已知不等式（）4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为例10、（1）函数的最大值为（2）函数的值域为（3）函数的值域为（4）已知，求函数的
5、最小值（5）求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为变式10、（1）函数的最大值为（2）函数的值域为（3）函数的值域为（4）已知，求函数的最大值（5）已知，求函数的最大值三、课后巩固1、下列各函数中，最小值为2的是（）AB，CD2、若x0，则2 + 3x + 的最大值是（）A2+4B24C24D以上都不对3、下列命题中正确的是（）A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是4、求函数的值域5、求函数的值域6、求函数的最小7、求函数的值域8、若时，不等式恒成立，XX数的取值X围9、某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为6400，深度为4m，如果池底每1的造价为16
6、0元，池壁每1的造价为100元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？10、正数满足。（1）求的取值X围。(2）求的取值X围。11、（1）已知，且，则的最小值为（2）已知，则的最大值为（3）已知，则的最大值为（4）已知正数x、y满足，则的最小值为（5）已知，且，则的最小值为12、（1）若，则的最小值为（2）若，且，则的最大值为13、（1）已知，则的最小值为（2）已知，则的取值X围为（3）已知，则的取值X围为（4）已知，则的取值X围为（5）已知，则的取值X围为（6）函数的最小值为（7）已知，则的最大值为14、已知正数满足，则使不等式恒成立，求的取值X围。15、（1）函数的最大值为（2）函数的值域为（3）已知，求函数的最小值（4）求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为
