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1、平行四边形全章复习与巩固（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3面积：4判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四
2、边形是平行四边形 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）
3、有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边
4、平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：边长边长对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、（海淀区二模）如图1，在ABC中，AB=AC，ABC=，D是BC边上一点，以AD为边作ADE，使AE=AD
5、，DAE+BAC=180（1）直接写出ADE的度数（用含的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF【思路点拨】（1）由在ABC中，AB=AC，ABC=，可求得BAC=1802，又由AE=AD，DAE+BAC=180，可求得DAE=2，继而求得ADE的度数；（2）由四边形ABFE是平行四边形，易得EDC=ABC=，则可得ADC=ADE+EDC=90，证得ADBC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；由在ABC中，AB=AC，ABC=，可得B=C=，四边形ABFE是平行四边形
6、，可得AEBF，AE=BF即可证得：EAC=C=，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论【答案与解析】解：（1）在ABC中，AB=AC，ABC=，BAC=1802，DAE+BAC=180，DAE=2，AE=AD，ADE=90；（2）证明：四边形ABFE是平行四边形，ABEFEDC=ABC=，由（1）知，ADE=90，ADC=ADE+EDC=90，ADBCAB=AC，BD=CD；证明：AB=AC，ABC=，C=B=四边形ABFE是平行四边形，AEBF，AE=BFEAC=C=，由（1）知，DAE=2，DAC=，DAC=CAD=CDAD=AE=BF，BF=CDBD=CF【总结升华
7、】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定注意（2）中证得ADBC是关键，（2）中证得AD=CD是关键举一反三：【变式】已知ABC中，AB3，AC4，BC5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正ABD、正ACE和正BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积【答案】证明： AB3，AC4，BC5，BAC90ABD、ACE和BCF为正三角形， ABBDAD，ACAECE，BCBFFC , 1FBA2FBA6012易证BACBDF（SAS），DFACAE4，BDF90同理可证BACFECABADEF3四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边
8、形） DFAE，DFBD 延长EA交BD于H点，AHBD，则H为BD中点 平行四边形AEFD的面积DFDH46.类型二、矩形2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AEBFCGDH（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF2，求矩形ABCD的面积【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA0BOCOD，AEBFCGDH，AOAEOBBFCOCGDODH，即：OEOFOGOH，四边形EFGH是矩形；（2）解：G是OC的中点，GOGC，DGAC，DGODGC90，又DGD
9、G，DGCDGO，CDOD，F是BO中点，OF2，BO4，四边形ABCD是矩形，DOBO4，DC4，DB8，CB，矩形ABCD的面积4【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等举一反三：【变式】（抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分DAB【答案】证明：（1）四边形ABCD为平行四边形，DCAB，即DFBE，又DF=BE，四边形DEBF为平行四边形，又DEAB，DEB=90，四边形DEBF为矩形；
10、（2）四边形DEBF为矩形，BFC=90，CF=9，BF=12，BC=15，AD=BC=15，AD=DF=15，DAF=DFA，ABCD，FAB=DFA，FAB=DFA，AF平分DAB3、在RtABC中，ACB=90，BC=4过点A作AEAB且AB=AE，过点E分别作EFAC，EDBC，分别交AC和BC的延长线与点F，D若FC=5，求四边形ABDE的周长【思路点拨】首先证明ABCEAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可【答案与解析】解：ACB=90，AEAB，1+B=1+2=90B=2EFAC，4=5=903
11、=4在ABC和EAF中，ABCEAF（AAS）BC=AF，AC=EFBC=4，AF=4FC=5，AC=EF=9在RtABC中，AB=.AE=EDBC，7=6=5=90四边形EFCD是矩形CD=EF=9，ED=FC=5四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键类型三、菱形4、如图，平行四边形ABCD中，ABAC，AB1，BC对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是
12、平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数【思路点拨】（1）当旋转角为90时，AOF=90，由ABAC，可得ABEF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明AOFCOE即可；（3）当EFBD时，四边形BEDF为菱形，又由ABAC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得AOB=45，求得AOF=45，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45【答案与解析】（1）证明：当AOF90时，ABEF，又AFBE，四边形ABEF为平行四边形 （2）
13、证明：四边形ABCD为平行四边形，AOCO，FAOECO，AOFCOE.AOFCOEAFCE（3）四边形BEDF可以是菱形 理由：如图，连接BF，DE， 由（2）知AOFCOE，得OEOF，EF与BD互相平分当EFBD时，四边形BEDF为菱形 在RtABC中，OA1AB，又ABAC，AOB45， AOF45，AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF为菱形【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE
14、是菱形. 【答案】证明：EF是BD的垂直平分线，EB=ED，EBD=EDB.又EBD= FBD，FBD=EDB，EDBF. 同理，DFBE， 四边形BFDE是平行四边形.又EB=ED，四边形BFDE是菱形.5、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点连接BE、EF（1）求证：EF=BF；（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BEAC，在BEC中，根据直角三角形斜边上中
15、线性质求出EF=BF=CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EGAD，EG=BC，求出EGBC，EG=BC，求出BF=EG，BFEG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD=2BO，BD=2AB，AB=BO，E为OA中点，BEAC，BEC=90，F为BC中点，EF=BF=CF，即EF=BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，ADBC，BD=2BO=2OD，BD=2AB=2CD，OC=CD，BG：G
16、D=3：1，OB=OD，G为OD中点，CGOD（三线合一定理），即CGB=90，F为BC中点，GF=BC=AD，E为OA中点，G为OD中点，EGAD，EG=AD，EGBC，EG=BC，F为BC中点，BF=BC，EG=GF，即EGBF，EG=BF，四边形EBFG是平行四边形，EG=GF，平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半类型四、正方形6、正方形ABCD的边长为
17、3，E、F分别是AB、BC边上的点，且EDF45将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EFFM；（2）当AE1时，求EF的长【答案与解析】解：（1）证明：DAE逆时针旋转90得到DCM，DEDM，EDM90，EDFFDM90，EDF45，FDMEDF45，在DEF和DMF中，DEFDMF（SAS），EFMF； （2）设EFMF，AECM1，且BC3，BMBCCM314，BFBMMFBMEF4，EBABAE312，在RtEBF中，由勾股定理得EB2BF2EF2，即，解得：，则EF 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程
18、的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由 【答案】 解：(1)BGDE，BGDE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BCDC，CG CE，BCGDCE 所以BCGDCE，所以BGDE，GBCCDE由于CDECED90，所以GBCDEC90， 得BHE90所以BGDE.(2)上述结论也存在理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，同理可证BCGDCE，得BGED，KBCKDH又因为KBCBKC90，可得DKHKDH90，从而得KHD90所以BGDE.
