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1、复变函数复习卷（本科）参考答案一、 填空题1、复数的三角表示式=；复指数表示式=。2、复数的=；。3、；。4、，求解方程组可得，。5、则；函数的奇点。6、；。7、；8、；。方程的根：；9、 ；10 、；。11、设，则是（一级极点）；。二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。（1） ；解：，一阶偏导连续，因此当 时，即时可导，在平面处处不解析。（2） ； 解：，于是，当 时，即时可导，在平面处处不解析。（3）。解：由解析函数的四则运算法则可知，函数除外处处可导，处处解析。三、求下列积分1、 。 （被积函数解析，找出原函数） 2、。 3、解：因为被积函数有奇点，但不在内，在内解析，
2、所以4、 其中积分曲线：点点的直线段；解：，其中。5、解：用留数基本定理。1) 由于一级极点，于是；2）由于三级极点，于是。所以。另解：用复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。被积函数在内有奇点；于是以为圆心作两个适当大小的圆， 所以。6、解：由于是本性奇点，于是，于是；所以 。 7、1），被积函数在内解析，所以 。2），被积函数在内只有一个奇点，于是。3），被积函数在内有二个奇点，于是 。8、 由于，故奇点： 而在内，有奇点，而且是一级极点，于是。 因此， 。 9、。四、级数展开1、将展开成的幂级数；并求收敛域；解：，。2、求在点处的泰勒展开式；并求收敛域；解：， 。3、将在（1），（2
3、）（3）邻域内展开为洛朗级数。解：1），有。2），有。3），有五、问是否存在这样的解析函数以为虚部？若有，求满足的解析函数。解：由于，而解析， 故C-R条件成立，即，于是，对积分，得。代入初始条件，得，所以。六、求下列函数在孤立奇点处的留数1、； 解：是孤立奇点，并且是三级极点。可以把它看成四级极点求留数更为方便些。；或可以将函数在的去心邻域内洛朗展开，于是。2、； 解：由于，所以为可去奇点，故。3、。解：由于不存在，所以为本性奇点，于是，所以。积分变换（本科）复习卷参考答案一、填空题1、；。2、； ； 3、；4、； ； 5、设，则；6、1； 7、；8、；9、； ；10、。二、求下列函数的付氏
4、变换1设，求。解：，于是2 3 。4。5 6 。 7 8 9 。10。三、计算积分 1。 2。3 4、。四、求卷积 1、设，求：。解：，2、设，求：。解：；。五、求下列函数的拉氏变换1、 2、 3、 。4、 。 5、。 6、7、 。 8、 。 9、。10、 11、 。 12、。13、设试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示，并求。解：；。六、求下列函数的拉氏逆变换1、。 2、 。 3、 4、5、 6、 ，其中，于是 。 7、。七、求解微分方程组1、 解：设，于是 ；所以。2、 解： 设，；于是，；故，所以 。3、 解：设于是，得，。要求背出下列公式：l ；。l ； 是自然数；l ；ll附：积分变换的主要公式：llll lll （）l lll ，l l （收敛）ll （,）
