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1、教学案例:一个解析几何问题的研究一、计算机的发展，使探究性学习得以全面展开随着新一轮课程改革的进行，数学探究性学习已成为教学改革的一大亮点。数学课程标准（实验稿）明确指出：有效的数学学习不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。然而开展数学探究性学习仅靠过去的传统方式是不够的，计算机融入课堂已成为势不可当的潮流，计算机的介入打破了传统的教学空间。计算机既作为一种资源，又作为一种工具，对教师教学、学生学习及课堂教学过程都起到了支持和辅助作用。利用计算机技术，从概念、性质到定理都可以通过运用大量的数据、图形与动画实现。此外还可以对数据、图像、表达式进行多元联系，
2、为学生提供了更多动手“玩数学”、“做数学”的机会与可能，使学生从多个维度来感受和体验知识的发生、形成过程，使数学探究性学习得以广泛展开。二、依托几何画板进行数学探究性学习几何画板是美国Key Curriculum Press 公司制作的优秀教育软件，在教师的引导下，几何画板可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时几何画板还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。我
3、利用课余时间认真学习几何画板软件，同时对学生进行培训,指导学生学习与使用几何画板，同时培养学生自主探究的学习能力。我从一开始的自己制作课件进行讲解、演示，到后来的学生自己利用几何画板中的“作图”、“变换”、“度量”、“编辑”等功能，制作具有动感的几何图形和曲线进行自主探究性学习。例如学生们对课本一道练习题的探讨,使我看到了学生自主探究性学习的能力，学生的潜能是无限的。 三、对一道练习题的探究性学习全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学第二册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）第页习题的第题：如图，线段的两个端点、分别在轴、轴上滑动，点是上一点，且，点随线段的运动而变化，求点的轨迹方程
4、。这个问题看似并不难，但我让学生利用几何画板进行探究，却得出极其丰富的内容。学生根据自己掌握的几何画板的知识，作出动态图形。作法如下：如图（）建立直角坐标系，同作线段，且（，），（，）；（）在线段上任取一点，以点为圆心，厘米为半径作圆与轴交于点；（）在线段上取一点，使厘米，并追踪点；（）建立点在线段上运动的动画按钮；（）同时选取点与点，作点的轨迹，根据对称性，再作出关于x轴对称的另一半轨迹，并建立轨迹的隐藏与显示按钮。学生通过点击运动点按钮，清楚地看到点的轨迹为一个椭圆，同时利用解析几何知识得出了点的轨迹方程为。学生经过探究，提出如果不等于厘米，而变点是线段上的任一点（两个端点除外），则点的轨
5、迹又将如何呢？学生自己提出了问题，同时也大在激发了学生对该问题的兴趣。同时我们也看到如果不利用几何画板，是不能及时画出点的轨迹图形，更不能动态地显示轨迹图表的变化。同学们很快对上一种作法进行修改，上面第（）步，如图，变厘米为在线段上任取一点，拖动点，则点的轨迹图形也随之变化。（这就是几何画板最大的特点：无论如何变化，始终能保持几何关系不变。）学生很快发现，当点恰为线段的中点时，点的轨迹是圆，其方程是：。当点不是线段的中点时，则点的轨迹是椭圆，而且当点离点较近时，椭圆的焦点在轴上，而当点离点较近时，椭圆的焦点在轴上，当点在线段上移动时，能动态地显示点的轨迹的变化过程，给学生以一种最直接的感性认识
6、，同时再一次激发学生对问题探究的热情。到此时似乎没有什么可以改变，我作为教师，同时也作为探究问题的参与者，我提出如果变点是直线上任一点，则其轨迹又将如何变化呢？同学们很快对上面的作法再一次进行修改，变线段为直线，并在直线上任取一点点，同时选取点与点，即可得到点的轨迹。如图。学生通过拖动点，看到当点向下离开点时，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且椭圆越来越大；同样当点向上离开点时，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且椭圆越来越大，而且有同学已经能够求出点的轨迹方程。最后我指出这其实是一种叫椭圆规的制作原理。有同学指出其实上面的轨迹作法中，始终有一个问题：即点的轨迹其实并不是一个连续的完整整体，而是分为了两部分。我
7、要求学生想办法改进这种方法，经过一段时间的探索，学生共同合作，终于得出了一个完美的解决方法，如图。作法如下：（）不失一般性，取两条互相垂直的直线n与m，且垂足为，并以点为圆心，厘米为半径作圆；（）在该圆上任取一点，则厘米，过点分别作直线n与m的垂线，垂足分别是点与点，（）当在圆周上运动时，线段的两个端点、分别在互相垂直的直线n与m上滑动，且线段厘米；（）在直线上任取一点，作出点的轨迹。并且学生对此作了简捷的证明：因为在矩形中，对角线厘米。拖动点在直线上移动时，点的轨迹同时变动，一目了然。同学们惊呼，这种作法多么美妙。在同学们惊奇的同时，又有一位同学提出，如果这两条直线n与m不互相垂直，线段的两
8、个端点仍然在上面滑动，点的轨迹又如何？而这恰恰是我想提出的问题。同学们的热情空前高涨，有的同学开始猜测点的轨迹，并且在纸上建立坐标系来求解点的轨迹方程；而有的同学则着手开始在几何画板中来作出这个轨迹问题。经过一段时间的探究，同样得以完美的解决。作法：如图（）作两条相交于点的直线n与m（不一定垂直），并设它们成角；（）以点为圆心，为半径作圆，半径可以变动；（）在该圆上任取一点，过点分别向直线n与m作垂线，垂足分别是点与点，作过点与点的直线；（）在直线上任取一点，同时选取点与点，就可得到点的轨迹，拖动点，轨迹也同时变动。证明：在四边形中，因为，所以四点、四点共圆，且为该圆的直径且，同时也是三角形外
9、接圆的直径。在三角形中，根据正弦定理有，从而或，但这两者是相等的，所以线段的长为定值。多么完美的方法，同学们在这个探究过程中，感觉到学到了许多，不仅是数学知识，几何画板的作图方法，相互的合作，更重要是一种探究问题的方法：不满足于现状，大胆的猜想，追求最优的解法。通过实践我深深地体会到：几何画板在数学教学中具有传统教学方法无法比拟的巨大优势，只要我们能在平常的数学教学中主动、自觉地应用几何画板为教学服务，就能更好地培养学生自主学习、探究问题的能力，就能激发和调动学生进行学科学习的积极性。几何画板作为一个学生自主学习的平台，必将为学生的自主学习、探究学习提供一个广阔的空间，成为培养学生创新思想的实践园地。
