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1、例1下列命题中，成立的是 A各个面都是三角形的多面体一定是棱锥；B四面体一定是三棱锥；C棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这棱锥一定是正棱锥；D底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥解：应该选(B)(A)是错误的，只要将底面全等的两个棱锥，把底面重合在一起所得多面体每个面都是三角形，不是个棱锥(B)是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必须是个三棱锥(C)棱锥的侧面是全等等腰三角形，当底面不是三角形时，侧面的全等等腰三角形，腰必须共顶点，方可证得底面是正多边形，而且顶点在底面内射影为正多边形中心但是三棱锥的侧面是全等等腰三角形但不是正三棱锥，如图(D)也是错的，
2、底面多边形既有内切圆又有外接圆，但不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥评注：1本题考查正棱锥的概念、棱锥的概念以及四面体与三棱锥的等价性2命题的成立要考虑一切情况，应注意特殊情况的例外，就像(C)3性质定理的逆命题不一定成立，若成立才能成为判定定理，否则是假命题如(A)4(D)中侧棱相等，底面一定有外接圆，且顶点在底面内射影为外接圆的圆心但是底面有外接圆，若高不过其圆心，侧棱不等本题中高过底面外接圆圆心，而底面也有内切圆，但是圆心不一定重合，不重合时底面不是正多边形，也不是正棱锥例2下列命题，真命题的个数是 (1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥(2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥
3、(3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥(4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥A3个 B2个 C1个 D0个分析：对照定义，构造反例解：如图所示，SABC是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等在SB，SC上分别取异于B，C的点B1，C1，连AB1，AC1，则三棱锥SAB1C1均满足命题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、命题(2)为假命题命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心外心不一定是中心，所以底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内
4、心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题因此选择答案D例3SC=c，求三棱锥的体积分析：选择SBC作底面，使底面积和高都易于计算解：同理 ASSC，AS平面SBC评注：1本题是利用三棱锥为四面体，无论哪个面作为底面都是三棱锥的性质计算其体积2遇到三棱锥求体积，应分析条件，选择适当的面作底面，使底面积和高都易于计算，本题选择SBC为底面，SA就是高，这样可以直接计算了若三条侧棱两两垂直，其长分别为a、b、c的三棱锥，不论选择哪个侧面作底面都方便，就是不能用原底面，否则高还需作出，底面面积还不易求例4三棱锥的一条棱长为4，其余各棱长均为3，求它的体积分析：求高和底面积求体积解1：如图，设三
5、棱锥PABC中BC=4，其余棱长均为3，作PO底面ABC于OPA=PB=PC=3，O为ABC的外心延长AO交BC于D，则ADBC解2由解1所设，有BC平面PADVP-ABC=VB-PADVC-PAD评注：用体积分割法，我们不难证明：若四面体ABCD中，过AB的截面ABECD例5如图，设正三棱锥SABC的每一条棱长均为3，若AD=1，AE=2，求三棱锥ACDE的体积与三棱锥SABC的体积的比分析：分别求出两个三棱锥的体积，再求体积的比显然，三棱锥SABC的体积很好求，关键是要想方设法求出三棱锥ACDE的体积，求CDE的面积，再求A点到平面CDE的距离，但比较困难于是想到重新选择底面求ACD的面积
6、，再求E点到平面ACD的距离这明显要简单些，因ACD从这里我们发现，能否不求出体积而直接求出其体积之比呢？选择公共的顶点C解法1：解法2： 评注：认识三棱锥时，不要认为三棱锥的底面总是水平放置，高总是竖直放置的三棱锥的题型之所以比较“活泼”，其主要原因就是它的任何一个面都可以看作是它的底，因而善于从不同角度去观察几何体，选择适当的底面，常常会给我们解决问题带来方便对于锥体，同底或等底面积的两个锥体的体积之比等于它们高的比，同高或等高的两个锥体的体积的比等于它们面积的比一般地，在三棱锥PABC中，A1，B1，C1是三条侧棱上的点，则有证明 设APB=，作CH面PAB，H为垂足设CPH=，则CHP
7、Csin同理例6已知：正n棱锥(n3，nN)的高是a，底面边长为2a，试求侧面和底面所成的二面角、侧棱及斜高的长分析：作出关键的图形，解直角三角形解：如图，设AB是正n棱锥的底面一边，PO是高，PM是斜高，则PMAB，AM=MBOMAB，PMO为侧面与底面所成二面角的平面角在RtPOM中PO=OMtanPMO评注：正棱锥的高和底面内任意一条直线都垂直，所以高、斜高和斜高在底面上的射影(即底面的边心距)组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角同样，高、侧棱和侧棱在底面上的射影(即底面外接圆的半径)组成一个直角三角形，这个直角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角例7如图，四棱锥PA
8、BCD底面为一直角梯形，BAAD，CDAD，侧面PAD底面ABCD(1)求证平面PCD平面PAD(2)若AB=2，CD=4，侧面PBC是一边长等于10的正三角形，求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦函数值分析：(1)两个平面垂直的判定定理两个平面垂直(2)构造线面角解直角三角形(1)证明：侧面PAD底面ABCD，面PAD面ABCD=ADCD平面PAD平面PCD平面PAD(2)解：作AEPD于E，连结CE，平面PAD平面PCDAE平面PCD所以ACE就是AC与平面PCD所成之角在直角梯形BADC中AB=2，BC=10，CD=4，AD2=BC2(CDAB)2=1004=96在RtCDP中，在RtPAB中，AP=AD，在等腰APD中，例8已知正四棱锥侧棱和底面所成的角等于，相邻两个侧面所成的角等于分析：可以引进适当的参数，把cos，cos表示出来，然后再证明结论成立然而，引进不同的参数就有不同的解法方法1：以底边长为参数作出，解OEC，OEB以OE为桥梁得到，的关系式方法2：以OB=x，OE=y为参数用x，y表示，cos，cos证明结论证法1：如图设正四棱锥PABCD底面边长为a，PO为高，连结AC，则PCO=，作BEPC于E，连结DE，则BCEDCECED=CEB=90DEPC，PC平面BED，BED=(1)(2)证法2：
