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1、第七章 一维有限区间中的波动方程,7.1 定解问题的建立 7.2 分离变量法 7.3 傅里叶级数展开法 7.4 非齐次边界条件的处理 7.5 有阻尼的波动问题,例1 两端固定弦的自由振动,7.1 定解问题的建立,均匀细弦两端拉紧并固定，被拨动后开始振动。,第一步：由物理基本理论建立描述该现象的方程,假定弦振动属于微小横振动，即 ， 所以,“一维齐次波动方程”,1.边界条件： 弦两端固定不动，所以不管在什么时刻，u(x,t)在两端点(x=0和x=l)处取值为0，即：,u(0,t)=0, u(l,t)=0,记为：,第二步：由已知条件确定满足的边界及初始条件,2.初始条件： 假如初始时刻弦各处的运动
2、状态为已知，即已知 t=0 时刻弦上各点的位移和速度:,第三步：写出定解问题,例2 两端固定弦的受迫振动,例3 一端固定另一端受力的均匀细杆的纵振动。,问题给定了细杆一端固定另一端受应力F(t)。 在固定端(x=0)处位移为0，所以 u(0,t)=0。,在受力端(x=l)处应力为F(t)，那么,再假设初始条件为,那么完整的定解问题为:,小结:定解问题: 描述物理现象的偏微分方程+定解条件;微元法建立偏微分方程: 在系统中任选一微元,将有关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高阶小量,就可得到所需的偏微分方程;定解条件: 边界条件+初始条件(+
3、附加条件);边界条件: Ux+Ux=0 或 x=l = f(t) (f=0 齐次, f0 非齐次) 第一类边界条件 = 第二类边界条件 第三类边界条件,7.2 分离变量法,例4 求解两端固定弦的自由振动问题,解：假设试解,根据问题的边值条件可得:,因为 , 所以,(i) 0，那么通解为,根据问题的边界条件可得:,方程组只有零解,即 ，这样使 无法找到满足边界条件的非零解。,(ii) = 0，那么通解为X(x) = C1x + C2 , 根据边界条件，结果仍得到恒等于0的解。,根据问题的边界条件:,若要寻找非零解，必须 ，那么,(iii) 0，那么通解为,因此本征值为：,相应于每一本征值 有一本
4、征函数 为:,其次，对每一个本征值 ，T(t)的方程为：,以上方程通解为：,因此，对应每个本征值，相应地得到一个既满足方程又满足边值条件的本征解。,o,l,n = 4,每一个本征解代表弦一种特定频率的驻波振动，称为弦的本征振动。本征振动的角频率为：,当n=1时，对应于最低频率，称为基频。 当n1时，相应的本征振动的频率是基频的倍数，称为n次谐频。,一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初始条件，因此本征解并不是定解问题的解。,可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边值条件。若要使其满足初始条件，那么,为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解进行线性叠加，从而形成如下的通解式:,(x)和(x)的
5、傅氏展开,根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中待定常数,例5 管乐器一般是直径均匀的细管，一端封闭、另一端开放。管内空气的驻波振动可归结为如下本征值问题，试求出各种本征振动。,解：设试解,另外，根据问题的边值条件可得:,(i) 若0，则,根据问题的边值条件可得:,(ii) 若=0，那么解为,代入边界条件后仍然得:,(iii) 只有让0，得到解为,代入边界条件后得:,，若要使 ，那么,相应的本征函数为：,因此该问题的本征解为:,管乐器中空气的本征振动角频率为：,当n=0时，对应于最低频率0（基频）。,当n1时，相应的本征振动频率是n次谐频。,管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐频。,分离变量
6、法解题的四步:设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征值问题)和相应的边界条件;解本征值问题,求出本征解集和相应的本征值集.并进而解出与每一个本征值相应的其它各常微分方程的解;利用迭加原理,将所有(与不同的本征值相对应的)可能的解迭加成级数形式的解;根据初始条件或尚未用到的边界条件,决定迭加成级数时所需要的迭加系数.,补充知识：拉普拉斯变换,7.3 傅里叶级数展开法,例6 求解两端固定弦的受迫振动问题。,解：根据前面讨论，满足边界条件的本征函数:,假设u(x,t)展开成如下傅里叶级数:,另外，非齐次项f(x,t)也应该展成傅里叶级数。
7、,其中系数 为已知函数，可按下式求出:,将u(x,t)和f(x,t)的傅里叶展开式代入方程和初始条件得:,最后得到该定解问题的解为:,例7 求解如下定解问题:,解：满足边界条件的本征函数为：,所以可假设问题的解具有如下傅里叶级数形式：,将上式代入定解问题的方程及初始条件。,比较方程两边的系数得到:,7.4 非齐次边界条件的处理,例8 一端固定(x=0)、另一端受周期性应力 作用的均匀细杆的纵振动问题。,解：不妨假设问题的解为,v(x,t)将满足齐次边界条件,例9 求解定解问题,解：设,若要使v(x,t)满足如下齐次的定解问题：,则w(x)必须满足条件：,求解以上定解问题很容易求出：,根据 v(
8、x,t)定解问题中的初始条件，就可以确定待定系数,7.5 有阻尼的波动问题,例10 两端固定弦的小阻尼振动问题,类似于本章例1的推导可以得到：,（阻尼因子）,解：采用分离变量法，设,因为 , 所以,那么,衰减函数 e-t,例11 均匀传输线中的电压波动方程。,假设一段均匀传输线每单位长度的电阻、电感和电容分别为R0、L0和C0 。若传输线一端(x=0)绝缘，另一端(x=l)从t=0时刻开始施加稳恒电压E，求传输线中电压波动函数(忽略电漏)。,绝缘端 I = 0，根据,得到,，另一端,另外，初始条件为,解：首先将边界条件齐次化, 设,采用分离变量法求解，设,代入以上微分方程得到：,只讨论小阻尼情形，即,
