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1、第七章,时间序列分析模型,本章结构,时间序列模型发展基础阶段-平稳时间序列模型核心阶段-非平稳时间序列模型完善阶段-异方差条件下模型,时间序列分析方法的发展过程,基础阶段核心阶段完善阶段,基础阶段,G.U.Yule 1927年，AR（自回归）模型G.T.Walker1931年，MA（平均）模型 ARMA（自回归移动平均）模型,AR模型,1、定义：具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p)特别地、当0=0时，称为中心化AR(p)模型,保证最高阶数为p,保证残差白噪声,保证t期的随机干扰与过去s期的序列值无关,AR模型的传递形式,Green函数,其中ki(i=1,p)为常数，i为特征值
2、且在单位圆内,框中式子称为AR模型的传递形式，而系数Gj,j=1,2,称为Green函数。Green函数性质：呈负指数下降，且（2）Green函数递推公式,利用待定系数法解上述方程可得递推公式,MA模型,1、定义：具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为 MA(q)特别当=0时，称为中心化MA(q)模型。【注意】（1）MA模型总满足平稳条件 ；（2）AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此模型。（3）系数敏感性较AR模型差。,用均值+过去时期的随机干扰或误差来预测自己,MA的逆函数的递推公式,对可逆的MA模型，有逆函数I(B)递推公式,ARMA模型,1、定义 具有如下结构的模型称为自回归
3、移动平均模型，简记为ARMA(p,q)特别当0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型,用过去的自己，并考虑到随机干扰或误差序列来预测自己,系数多项式,引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型可简记为 其中p阶自回归系数多项式： q阶移动平均系数多项式：,3、传递形式与逆转形式,传递形式,逆转形式,Green函数：,逆函数：,可转化为无穷阶MA模型,可转化为无穷阶AR模型,平稳时间序列建模步骤,平稳非白噪声序列,计算样本相关系数,模型识别,参数估计,模型检验,模型优化,序列预测,Yes,No,核心阶段,G.E.P.Box和 G.M.Jenkins 1970年，出版Time Series A
4、nalysis Forecasting and Control。 提出ARIMA(p,d,q)（差分自回归滑动平均 ）模型（BoxJenkins 模型） -经典模型。 (其中p为自回归项数，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分阶数)。BoxJenkins模型实际上主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型 ，存在局限性。,Cramer分解定理（1961）,任何一个时间序列 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即,确定性影响,随机性影响,确定性因素分解,现在的因素分解长期趋势波动季节性变化随机波动,确定性时序分析的目的,克
5、服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响,趋势分析,目的有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测 常用方法趋势拟合法平滑法,趋势拟合法,趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法 分类线性拟合非线性拟合,平滑法,平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律 常用平滑方法移动平均法指数平滑法,移动平均法
6、,基本思想假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值 分类n期中心移动平均n期移动平均,指数平滑法,指数平滑方法的基本思想在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。这就是指数平滑法的基本思想 分类简单指数平滑Holt两参数指数平滑,季节指数,季节指数的概念所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各时期季节性影响的相对数 季节模型,
7、季节指数的计算,计算周期内各期平均数计算总平均数计算季节指数,季节指数的理解,季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应,综合分析,常用综合分析模型加法模型乘法模型混合模型,ARIMA模型结构,使用场合差分平稳序列拟合模型结构,ARIMA模型的平稳性,ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。,例5.5ARIMA(0,1,0)时
8、序图,ARIMA模型的方差齐性,时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性,ARIMA 模型族,d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model,随机游走模型( random walk),模型结构模型产生典故Karl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？,疏系数模型,ARIMA(p,d,q)模型
9、是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。,疏系数模型类型,如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为,季节模型,简单季节模型乘积季节模型,简单季节模型,简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平
10、稳，它的模型结构通常如下,乘积季节模型,使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下,Auto-Regressive模型,构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息,Auto-Regressive模型结构,对趋势效应的常用拟合方法,自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值,对季节效应的常用拟合方法,
11、给定季节指数建立季节自回归模型,完善阶段,异方差场合Robert F.Engle，1982年，ARCH（自回归条件异方差）模型 。Bollerslov，1985年GARCH（时变自回归 ）模型 都是对经典ARIMA模型的很好补充。多变量场合C.Granger ，1987年，提出了协整（co-integration）理论极大促进了多变量时间序列分析发展，因此获得2003年诺贝尔经济学奖。非线性场合汤家豪教授等，1980年，门限自回归模型是分析非线性时间序列的经典模型。,异方差的性质,异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致
12、残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。,异方差直观诊断,残差图残差平方图,残差图,方差齐性残差图,递增型异方差残差图,残差平方图,原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳,异方差处理方法,假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型,方差齐性变换,使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系 其中： 是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数 ，使得经转换后的变量满足方差齐性,条件异
13、方差模型,ARCH模型GARCH模型GARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型,ARCH模型,假定原理通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数,ARCH(q)模型结构,GARCH 模型结构,使用场合ARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程 GARCH模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程,模型结构,GARCH模型的约束条件,参数非负 参数有界,EGARCH模型,IGARCH模型,GARCH-M模型,AR-GARCH模型,ARIMA模型建模步骤,获得观察值序列,平稳性检验,差分运算,Y,N,白噪声检验,Y,分析结束,N,拟合ARMA模型,平稳时间序列建模步骤,平稳非白噪声序列,计算样本相关系数,模型识别,参数估计,模型检验,模型优化,序列预测,Yes,No,
